hdu5793 A Boring Question
作者：互联网
\[\sum_{k} \prod_{i} \binom{k_{i+1}}{k_i}
\]
首先注意到 \(k\) 一定是不降的，展开组合数得：
\[\sum_{k}\frac{k_m!}{k_1!} \prod_{i} \frac{1}{(k_{i+1}-k_i)!} \]考虑枚举 \(k_1\) 和 \(k_m\) 的差 , 令 \(f_i\) 为确定 \(k_1\) 的值，且满足 \(k_m=k_1+i\) 的方案中，\(\prod_{i} \frac{1}{(k_{i+1}-k_i)!}\) 的和
可以构造出这样一个生成函数， \(f_i\) 即为 \(x^n\) 的系数
\[\left(\sum_{i \ge 0} \frac{x^i}{i!}\right)^{m-1} \]其实就是 \(e^{(m-1)x}\)
结合指数型生成函数的结论可知
\[f_i=\frac{(m-1)^i}{i!} \]答案即为：
\[\begin{aligned} &\sum_{i=0}^nf_i\sum_{k_1=0}^{n-i} \frac{(k_1+i)!}{k_1!} \\ =&\sum_{i=0}^n \frac{(m-1)^i}{i!} \sum_{k_1=0}^{n-i} \binom{k_1+i}{i}i! \\ =&\sum_{i=0}^n(m-1)^i \sum_{j=i}^n \binom{j}{i} \\ =&\sum_{i=0}^n(m-1)^i \binom{n+1}{i+1} \\ =&\sum_{i=0}^n(m-1)^i \left( \binom{n}{i+1} + \binom{n}{i} \right) \\ =& \sum_{i=0}^n(m-1)^i \binom{n}{i+1} + \sum_{i=0}^n(m-1)^i\binom{n}{i} \\ =& \frac{1}{m-1}\sum_{i=0}^n (m-1)^{i+1}\binom{n}{i+1} + m^n \\ =& \frac{1}{m-1} (\sum_{i=0}^n(m-1)^i\binom{n}{i}-1) +m^n \\ =& \frac{m^n-1}{m-1} +m^n \end{aligned} \]标签：right,frac,hdu5793,Boring,sum,Question,aligned,binom,prod 来源： https://www.cnblogs.com/chihik/p/hdu5793.html