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2-SAT 小结

作者：互联网

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2-SAT 小结

从SAT说起

布尔可满足性问题（Boolean satisfiability problem；SAT)）属于决定性问题，也是第一个被证明属于NP完全的问题。 此问题在计算机科学上许多领域的皆相当重要，包括计算机科学基础理论、算法、人工智能、硬件设计等等。---摘自某百科

如:有三个bool变量，三个人要求的取值如下

A：101

B：110

C：111

如果三个人要被满足至少一个取值，求方案。

虽然SAT是NP完全问题，不过今天介绍的\(2-SAT\)是特殊的，其可以在\(O(n+m)\)的时间完成。

前置知识：tarjan（强联通分量），一定的逻辑思维

部分定义:

取值：本文中一个变量的取值有且只有\(0\)和\(1\),即\(bool\)变量

\(tarjan\)编号：指求强联通分量时，求出的强联通分量编号。

热身

请注意：这里的或指的是逻辑或，即两者至少满足一条，而非二选一。

显然，我们可以得出

1:如果a选0，则b必须选1
2:如果b选1，则a必须选1

这个留给读者自行思考

建边

我们可以通过建边将其表达出来。\((u,v)\)的意义是，假设选择了\(u\)，则必须选\(v\)。那么我们就可以按照上面所述进行建边。

我们将每个变量拆成两点，对于\(1 \le i \le n\)，\(i\)的意义是第\(i\)个变量选\(0\)，\(i+n\)为选\(1\)。

那么，我们就得到一张完整的有向图了。

我们可以发现：对于一个环，只要选定一个点，那么其他点也随之确定。所以，我们可以通过强联通分量，使其成为一张有向无环图！

求解

假设\(i\)与\(i+n\)在同一个强联通分量内，则表示“假设第\(i\)个变量选0，那么就要选\(1\)”（或反过来），这时一定无解。

（那么此时上面的谜底也出来了，如果\(i\)必须为\(0\)，则建边\((i+n,i)\)，如果必须选\(i=1\)，则无解）

那么我们怎么输出解呢？

这时候我们请出拓扑序。如果对于两个点\(u,v\)，假设\(u\)的拓扑序小于\(v\)，那么没有\(v\)没有到\(u\)的路径。证明略。

所以，假设对于\(i\)，选拓扑序小的可能会出问题，所以应选拓扑序大的。

Q：拓扑好麻烦啊，能否不拓扑啊qwq

A：可以！考虑直接使用\(tarjan\)寻强联通分量时留下来的编号，因为\(tarjan\)寻环是\(dfs\)下去的，与拓扑恰恰相反，所以，我们应选\(tarjan\)编号小的。

Q：讲了这么多，上代码吧~

代码

题目链接

这题只有一个约束，即“或”约束，按上文所写即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ltk,cc,to[2000500],net[2000500],fr[2005000],dfn[2000500],low[2005000],snack[2005000],color[2005000];
int df,p,u,v,u1,v1,n,m;bool  vis[2000500]; 
void addedge(int u,int v)
{
    cc++;
    to[cc]=v;net[cc]=fr[u];fr[u]=cc;
}
void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=low[x]=++df;
    snack[++p]=x;vis[x]=true;
    for (int i=fr[x];i;i=net[i])
    {
        int y=to[i];
        if (!dfn[y])
        {
            tarjan(y);
            low[x]=min(low[x],low[y]);
        }
        else 
          if (vis[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
    }
    if  (dfn[x]==low[x])
    {
         ltk++;
         while (snack[p]!=x)
         {
               color[snack[p]]=ltk;vis[snack[p]]=false;
               p--;
         }
         color[x]=ltk;vis[snack[p]]=false;
         p--;
    }
}//tarjan
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for (int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&u,&u1,&v,&v1);
        addedge(u+(u1^1)*n,v+v1*n);//位运算，意义与上文相同
        addedge(v+(v1^1)*n,u+u1*n);
    }
    for (int i =1;i<=2*n;i++)
    {
        p=0;
        if (!dfn[i])
            tarjan(i);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (color[i]==color[i+n])
        {
            cout<<"IMPOSSIBLE";
            return 0;
        }
    }
    cout<<"POSSIBLE\n";
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (color[i]<color[i+n])
        {
             cout<<0<<" ";
        }
       else
       {
           cout<<1<<" ";
       }
    }
    return 0;
}

参考资料：

[1]维基百科

[2]LuoguP4782题解

标签：tarjan,snack,int,拓扑,low,小结,SAT
来源： https://www.cnblogs.com/fmj123/p/10352305.html