从零构造一台计算机——布尔代数到逻辑电路

最近在学习coursera上的一门课：Build a Modern Computer from First Principles: From Nand to Tetris，我会坚持更新这一系列的博客，作为记录自己学习的过程，同时也倒逼自己去把学会的东西再讲出来，来深入理解。

其实我们生活中所有的电子设备都是基于逻辑门电路（后面会解释）来构造的。这是很神奇的一件事情，我在中学的时候就好奇计算机是如何完成这一些复杂的操作的，我相信很多人也都好奇过。这门课的愿景就是带我们从一个最基础的电路开始，构造出一个完整的计算机。

布尔代数

在数学和数理逻辑中，逻辑代数（有时也称开关代数、布尔代数）是代数的一个分支，其变量的值仅为真和假两种真值（通常记作 1 和 0）。逻辑代数是乔治·布尔（George Boole）在他的第一本书《逻辑的数学分析》（1847年）中引入的，并在他的《思想规律的研究》（1854年）中更充分的提出了逻辑代数。

这段话来自维基百科，布尔其实是一个人名，因为布尔代数就是他提出的，所以用他的名字来命名。这里不会深入讲解布尔代数，我们只讲我们用得到的部分。

还是以数学为例，数学中最基础的四则运算是加，减，乘，除，同样的，布尔代数也有很多计算方式，最基础的是应该是：与，或，非。

在开始讲具体的计算之前，我们需要把前提记住：布尔代数变量的值仅为真和假两种真值（通常记作 1 和 0，真为1，假为0）。

与

因为布尔代数变量的值仅为真和假两种真值，所以我我们其实可以把所有的情况都列出来，形成一张表，这张表就是我们平时所说的真值表。

与的真值表如下：

x	y	x与y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

从上面也可以看出，对于\(n\)个变量的真值表，会有\(2^n\)种情况。

x与y其实就是当x和y都是1的时候，结果为1，也就是x和y都是真的时候，结果为真。

你也可以有你自己的理解方式，比如我们一开始学加法的时候，老师告诉我们1+1=2其实就是一个苹果加一个苹果等于2个苹果。那么x与y你也可以这么理解：假如你想出去旅游要征询爸爸妈妈的意见，x代表爸爸的意见，x=1代表爸爸同意，y代表妈妈的意见，y=1代表妈妈同意，为0则是不同意。那么与的意思就是，爸爸与妈妈都同意了，才是通过。

我们平时表述x加y用符号+来表示：x+y；同样的，与也有它的符号：\(x\)与\(y\) \(\Rightarrow\) \(x \cdot y\)

或

或的真值表如下：

x	y	x或y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

用上面的例子来说，或就是爸爸或妈妈同意了，就算是通过了。

同样地，符号表示如下：\(x\)或\(y\) \(\Rightarrow\) \(x + y\)

非

非和上面的与，或有点不一样，真值表如下：

x	非x
0	1
1	0

非其实就是对x去相反的值，从字面意思也可以理解。

符号表示如下：非\(x\) \(\Rightarrow\) \(\overline{x}\)

与非

与非的字面意思是与运算和非运算的结合。

与非的真值表如下：

x	y	x与非y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

与非就是对与计算出来的结果，再做非计算。其符号表示如下：\(x\)与非\(y\) \(\Rightarrow\) \(\overline{x \cdot y}\)

这里把与非单独拿出来讲，是因为在电路中，我们可以用一个与非组件，构造出其余所有的组件。这样我们只需要弄懂一个电路图即可。我们这节课的主旨是搞明白，如何从用电路表达布尔逻辑，至于电路的效率等方面，则是硬件工程师们考虑的内容了。其实学习就是这样，我们需要抓住主线，明确目的。如果我们陷入布尔逻辑或者电路图的细节中不可自拔，那就是路走偏了。

逻辑电路

逻辑电路是指完成逻辑运算的电路。这种电路，一般有若干个输入端和一个 或几个输出端，当输入信号之间满足某一特定逻辑关系时，电路就开通，有输 出;否则，电路就关闭，无输出。所以，这种电路又叫逻辑门电路，简称门电路。

这段话来自百度百科，可能比较拗口，我们直接来看实现。

与非门

如图所示，I1，I2是输入，NPN是一个三极管（当I1或I2加电的时候，上下两端连通），我们用1表示有电，用0表示没电，那么只有当I1，I2都是1的时候，Output才是0。我们可以用真值表中的例子来验证一下。

为了简化表示，我们用如下的符号来表示与非门：

到这里我们迈出了第一步，我们用一个物理上真实存在的电路图，表示出了一种布尔运算逻辑。那么下面我们就用这个电路图来构造其余的电路图。

非门

非门的实现如下：

也就是我们只需要在电路图上把与非门的2个输入连起来，就可以得到一个非门：这个时候与非门的2个输入永远都是相等的，当2个输入都是1的时候，输出为0，当2个输入都是0的时候，输出为1。

非门的符号如下所示：

与门

类似地，与门的实现如下：

符号表示如下：

或门

或门的实现如下：

符号表示如下：

回顾

这一节我们实现了用电路去表示基础的门电路。迈出了关键的一步，但是一直用画图的方式去表达电路也比较麻烦，下一节我们会简单学习一门硬件描述语言（HDL：hardware description language）来表示电路的实现方式，一步一步去抽象，实现更多的组件。从而构造出一个完整的电脑。

再聊一个题外话：抽象。抽象是软件工程师很重要的一个技能。在这里，我们用或非门构造出了非门，与门，或门，那么我们可以把构造的过程理解成一个抽象的过程，构造出的门电路可以直接供我们使用，而不必每次去画几个或非门，然后把他们连起来。当然目前的门电路比较简单，我们的感知不是很强烈，如果我们构造了一个由几十个或非门构造出的某门，那么抽象就显得尤为重要了。其实平时写代码也是如此，我们应该把公用的部分，抽象出一个模块或者一个工具类。

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