欧拉回路学习笔记

\[\huge \rm 欧拉回路 \]

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\[\Large \rm 算法简介 \]

\(\large\rm 定义\)

• 欧拉路径：如果图中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径 \((Euler~Path)\) 。

• 欧拉回路：首尾相接的欧拉路径被称为欧拉回路 。

\(\large\rm 判定\)

\(\quad\)由于每一条边都要经过恰好一次，因此对于除了起点和终点之外的任意一个节点，只要进来，一定要出去。

• 一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数，且该图只有一个存在边的连通块。

• 一个无向图存在欧拉路径，当且仅当该图中奇点的数量为 \(0\) 或 \(2\) 且该图只有一个存在边的连通块。

• 一个有向图存在欧拉回路，当且仅当所有点的入度等于出度。

• 一个混合图存在欧拉回路，当且仅当存在一个对所有无向边定向的方案，使得所有点的入度等于出度。需要用到网络流。

\(\large\rm 求解\)

\(\quad\)用 \(\rm dfs\) 算法求出一张图的欧拉回路 。

\(\quad\)给每一条边记一个 \(\rm vis\) 数组，表示其是否被访问，然后从一个点出发，遍历所有的边。

\(\quad\)直接 \(\rm dfs\) 的话可能会有一些点无法被遍历到，于是在记录答案的时候可以倒着记录，即当通过 \(u\to v\) 这条边的时候，可以先将点 \(v~\rm dfs\) 完，再加入 \(u\to v\) 这条边 。

\(\large \rm 实现\)

void dfs (int u) {
    for (int i = last[u]; i; i = Next[i]) {
        if (vis[i]) continue;
        vis[i] = true;
        int record = i;
        dfs(to[i]);
        Sta[++top] = Record;
    }
}

标签：dfs,当且,large,笔记,回路,rm,欧拉
来源： https://www.cnblogs.com/C-C-A/p/15047342.html