自编linearSVM

2021-07-15 17:32:21 作者：互联网

转自https://zhuanlan.zhihu.com/p/27293420

Python · SVM（二）· LinearSVM

射命丸咲一个啥都想学的浮莲子

（这里是本章会用到的 Jupyter Notebook 地址）

很多人（包括我）第一次听说 SVM 时都觉得它是个非常厉害的东西，但其实 SVM 本身“只是”一个线性模型。只有在应用了核方法后，SVM 才会“升级”成为一个非线性模型

不过由于普遍说起 SVM 时我们都默认它带核方法，所以我们还是随大流、称 SVM 的原始版本为 LinearSVM。不过即使“只是”线性模型，这个“只是”也是要打双引号的——它依旧强大，且在许许多多的问题上甚至要比带核方法的 SVM 要好（比如文本分类）

感知机回顾

在进入正题之前，我们先回顾一下感知机，因为 LinearSVM 往简单来说其实就只是改了感知机的损失函数而已，而且改完之后还很像

感知机模型只有 $w$ 和 $b$ 这两个参数，它们决定了一张超平面 $\Pi:w\cdot x+b=0$ 。感知机最终目的是使得 $y(w\cdot x+b)>0,\forall(x,y)\in D$ ，其中 $D$ 是训练数据集、 $y$ 只能取正负一

训练方法则是梯度下降，其中梯度公式为：

$\frac{\partial L}{\partial w}(x_i,y_i) = -y_ix_i$ 、 $\frac{\partial L}{\partial b}(x_i,y_i)=-y_i$

我们在实际实现时，采用了“极大梯度下降法”（亦即每次只选出使得损失函数最大的样本点来进行梯度下降）（注：这不是被广泛承认的称谓，只是本文的一个代称）：

for _ in range(epoch):
    # 计算 w·x+b
    y_pred = x.dot(self._w) + self._b
    # 选出使得损失函数最大的样本
    idx = np.argmax(np.maximum(0, -y_pred * y))
    # 若该样本被正确分类，则结束训练
    if y[idx] * y_pred[idx] > 0:
        break
    # 否则，让参数沿着负梯度方向走一步
    delta = lr * y[idx]
    self._w += delta * x[idx]
    self._b += delta

然后有理论证明，只要数据集线性可分，这样下去就一定能收敛

感知机的问题与 LinearSVM 的解决方案

由感知机损失函数的形式可知，感知机只要求样本被正确分类，而不要求样本被“很好地正确分类”。这就导致感知机弄出来的超平面（通常又称“决策面”）经常会“看上去很不舒服”：

之所以看上去很不舒服，是因为决策面离两坨样本都太近了。从直观上来说，我们希望得到的是这样的决策面：

（之所以画风突变是因为 matplotlib 的默认画风变了，然后我懒得改了……）（喂

那么应该如何将这种理想的决策面的状态翻译成机器能够学习的东西呢？直观来说，就是让决策面离正负样本点的间隔都尽可能大；而这个“间隔”翻译成数学语言，其实就是简单的：

$d((x,y),\Pi)=\frac {1}{\|w\|}y(w\cdot x+b)$ （文末会给出相应说明）

在有了样本点到决策面的间隔后，数据集到决策面的间隔也就好定义了：

$d(D, \Pi)=\min_{(x,y)\in D}d((x,y),\Pi)$

所以我们现在的目的就转化为：

让所有样本点都被正确分类： $y(w\cdot x+b)>0,\forall(x,y)\in D$
让决策面离正负样本点的间隔都尽可能大： $\max\min_{(x,y)\in D}\frac {1}{\|w\|}y(w\cdot x+b)$

注意到 $y(w\cdot x+b)>0$ 的性质和 $\frac {1}{\|w\|}y(w\cdot x+b)$ 的值在 $w$ 和 $b$ 同时扩大 k 倍时不会改变，所以我们完全可以假设：

若 $(x^*,y^*)=\arg\min_{(x,y)\in D}\frac {1}{\|w\|}y(w\cdot x+b)$ ，则 $y^*(w\cdot x^*+b)=1$

（否则假设 $y^*(w\cdot x^*+b)=c$ ，令 $w\leftarrow\frac wc,b\leftarrow\frac bc$ 即可）

注意由于 $(x^*,y^*)=\arg\min_{(x,y)\in D}\frac {1}{\|w\|}y(w\cdot x+b)$ 这个最小化过程中 $w$ 是固定的，所以我们可以把 $\frac1{\|w\|}$ 这一项拿掉，从而：

$(x^*,y^*)=\arg\min_{(x,y)\in D}y(w\cdot x+b)$

所以 $y^*(w\cdot x^*+b)=1\Rightarrow y(w\cdot x+b)\ge1,\forall(x,y)\in D$

于是优化问题转为：

$\max_{w,b}\frac {1}{\|w\|}$ ，使得 $y_i(w\cdot x_i+b)\ge1,\forall(x_i,y_i)\in D$

亦即

$\min_{w,b}\frac {\|w\|^2}2$ ，使得 $y_i(w\cdot x_i+b)\ge1,\forall(x_i,y_i)\in D$

但是这会导致另一个问题：当数据集线性不可分时，上述优化问题是必定无解的，这就会导致模型震荡（换句话说， $y_i(w\cdot x_i+b)\ge1$ 这个约束太“硬”了）。所以为了让模型在线性不可分的数据上仍有不错的表现，从直观来说，我们应该“放松”对我们模型的限制（让我们模型的约束“软”一点）：

$\min_{w,b}\frac {\|w\|^2}2$ ，使得 $y_i(w\cdot x_i+b)\ge1-\xi_i,\forall(x_i,y_i)\in D$

其中 $\xi_i\ge0$ 。当然仅仅放松限制会使模型变得怠惰（咦），所以我们还需要让这种放松受到惩罚：

$\min_{w,b}\left[\frac {\|w\|^2}2+C\sum_{i=1}^N\xi_i\right]$ ，使得 $y_i(w\cdot x_i+b)\ge1-\xi_i,\forall(x_i,y_i)\in D$ （ $\xi_i\ge0$ ）

其中 $C$ 是一个常数，可以把它理解为“惩罚力度”（这样做的合理性会在文末给出）。若假设数据集为 $D=\left\{(x_1,y_1),...,(x_N,y_N)\right\}$ 的话，那么经过数学变换后，可知上述优化问题等价于（文末会给出过程）：

$\min_{w,b}{\left[\frac{\|w\|^2}2 + C\sum_{i=1}^N[1-y_i(w\cdot x_i+b)]_+\right]}$

其中“ $[ \cdot ]_+$ ”其实就是 ReLU 函数：

$[x]_+=\left\{ \begin{aligned} 0&\ \ x\le0 \\ x&\ \ x>0 \end{aligned} \right.$

注意我们感知机的损失函数为 $\sum_{i=1}^N[-y(w\cdot x+b)]_+$ ，于是综上所述可以看出，LinearSVM 在形式上和感知机的差别只在于损失函数、且这两个损失函数确实长得很像

LinearSVM 的训练

【虽然比较简单，但是调优 LinearSVM 的训练这个过程是相当有启发性的事情。仍然是那句老话：麻雀虽小，五脏俱全。我们会先展示“极大梯度下降法”的有效性，然后会展示极大梯度下降法存在的问题，最后则会介绍如何应用 Mini-Batch 梯度下降法（MBGD）来进行训练】

为了使用梯度下降法，我们需要先求导。我们已知：

$L(D)=\frac{\|w\|^2}2 + C\sum_{i=1}^N[1-y_i(w\cdot x_i+b)]_+$

所以我们可以认为：

$L(x,y)=\frac{\|w\|^2}2+C[1-y(w\cdot x+b)]_+$

于是：

当 $y(w\cdot x+b)\ge1$ 时： $\frac{\partial L(x,y)}{\partial w} = w$ 、 $\frac{\partial L(x,y)}{\partial b}=0$
当 $y(w\cdot x+b)<1$ 时： $\frac{\partial L(x,y)}{\partial w} = w-Cyx$ 、 $\frac{\partial L(x,y)}{\partial b}=-Cy$

所以我们可以把极大梯度下降的形式写成（假设学习速率为 $\eta$ ）：

$w\leftarrow (1-\eta)w$

若 $y(w\cdot x+b)<1$ ，则选出某个被错分的样本 $(x,y)$ ，然后：

$w\leftarrow w+\eta Cyx$

$b\leftarrow b+\eta Cy$

我们完全可以照搬感知机里的代码来完成实现（由于思路基本一致，这里就略去注释了）：

import numpy as np

class LinearSVM:
    def __init__(self):
        self._w = self._b = None
        
    def fit(self, x, y, c=1, lr=0.01, epoch=10000):
        x, y = np.asarray(x, np.float32), np.asarray(y, np.float32)
        self._w = np.zeros(x.shape[1])
        self._b = 0.
        for _ in range(epoch):
            self._w *= 1 - lr
            err = 1 - y * self.predict(x, True)
            idx = np.argmax(err)
            # 注意即使所有 x, y 都满足 w·x + b >= 1
            # 由于损失里面有一个 w 的模长平方
            # 所以仍然不能终止训练，只能截断当前的梯度下降
            if err[idx] <= 0:
                continue
            delta = lr * c * y[idx]
            self._w += delta * x[idx]
            self._b += delta
    
    def predict(self, x, raw=False):
        x = np.asarray(x, np.float32)
        y_pred = x.dot(self._w) + self._b
        if raw:
            return y_pred
        return np.sign(y_pred).astype(np.float32)

下面这张动图是该 LinearSVM 的训练过程：

虽然看上去不错，但仍然存在着问题：

训练过程其实非常不稳定
从直观上来说，由于 LinearSVM 的损失函数比感知机要更复杂，所以相应的函数形状也会更复杂。这意味着当数据集稍微差一点的时候，直接单纯地应用极大梯度下降法可能会导致一些问题——比如说模型会卡在某个很奇怪的地方无法自拔（什么鬼）

通过将正负样本点的“中心”从原点 (0, 0)（默认值）挪到 (5, 5)（亦即破坏了一定的对称性）并将正负样本点之间的距离拉近一点，我们可以复现这个问题：

原理我不敢乱说，这里只提供一个牵强附会的直观解释：

每次只取使得损失函数极大的一个样本进行梯度下降 $\rightarrow$ 模型在某个地方可能来来回回都只受那么几个样本的影响 $\rightarrow$ 死循环（什么鬼！）

专业的理论就留待专业的观众老爷补充吧 ( σ'ω')σ

然后解决方案的话，主要还是从改进随机梯度下降（SGD）的思路入手（因为极大梯度下降法其实就是 SGD 的特殊形式）。我们知道 SGD 的“升级版”是 MBGD、亦即拿随机 Mini-Batch 代替随机抽样，我们这里也完全可以依样画葫芦。以下是对应代码（只显示出了核心部分）：

self._w *= 1 - lr
# 随机选取 batch_size 个样本
batch = np.random.choice(len(x), batch_size)
x_batch, y_batch = x[batch], y[batch]
err = 1 - y_batch * self.predict(x_batch, True)
if np.max(err) <= 0:
    continue
# 注意这里我们只能利用误分类的样本做梯度下降
# 因为被正确分类的样本处、这一部分的梯度为 0
mask = err > 0
delta = lr * c * y_batch[mask]
# 取各梯度平均并做一步梯度下降
self._w += np.mean(delta[..., None] * x_batch[mask], axis=0)
self._b += np.mean(delta)

这样的话，通常而言会比 SGD 要好

但是问题仍然是存在的：那就是它们所运用的梯度下降法都只是朴素的 Vanilla Update，这会导致当数据的 scale 很大时模型对参数极为敏感、从而导致持续的震荡（所谓的 scale 比较大，可以理解为“规模很大”，或者直白一点——以二维数据为例的话——就是横纵坐标的数值很大）。下面这张动图或许能提供一些直观：