动态规划1:基本思路

妈妈再也不用担心我的动态规划

基本介绍

1.动态规划的一般形式就是求最优值，比如最长公共子序列、最大子段和、最优二叉搜索树等等。
2.一般暴力破解的题目，即通过遍历所有情况，得到其中的最优解，均可采用动态规划的方式，保存已经解决的子问题的答案，减少重复计算，进而实现剪枝的目的。
3.因重点在于状态转移方式，暂称之为状态转移方程法/递推方式法，不过这种问题要用dp命名变量（Dynamic Programming，DP），更具专业性。
4.与分治法不同的是，适合动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。

动态规划的基本要素

重叠子问题性质

动态规划经分解得到的子问题往往不是相互独立，即存在重复计算，通过保存答案，减少重复计算。
即计算f(n)会和f(n-1)甚至f(n-2)……有一定关系，即存在重复的计算，这里应该又和最后子结构性质带来了一定的关联性，还是类似套娃。

最优子结构性质

当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质 。
即类似套娃，或者用最简单的示例就是f(n)的最优解，和f(n-1)的最优解 相关，这个不是绝对相关。

基本解题步骤

1.题型判断：如何断定一个问题是动态规划问题？

一般情况下，需要求最优解的问题（最短路径问题，最长公共子序列，最大字段和等等，出现 最 字你就留意），在一定条件下对排列进行计数的计数问题（丑数问题）或某些概率问题都可以考虑用动态规划来解决。
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可以根据给出的题目，比划比划，发现计算后面的值，需要用到前面计算的结果，那就存在**重叠子问题性质。**大多数经典的动态规划问题还满足最优子结构性质。

2.确定状态

感觉主要是看看，用一维的表示，还是得用二维的表示；感觉就是用一维的不行，就得用二维的。
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即用来标记这种情况下，对应的值的情况。DP[] 或者DP[][]，其对应的值即为这种情况对应的最优解。
至于状态，用来标识当前的参数，进而标识一个个的子问题。
如斐波那契数中，0 , 1, …, n 就可以视为参数，而通过这些参数定义出的 DP[0]，DP[1]，DP[2]，…，DP[n] 就是状态，而状态与状态之间的转移方程就是 DP(n) = DP(n-1) + DP(n-2) 。
经典的背包问题（Knapsack problem）中，状态通过 index 和 weight 两个参数来定义，即 DP[index][weight] 。DP[index][weight] 则表示当前从 0 到 index 的物品装入背包中可以获得的最大重量。

3.构造状态转移方程

即确定下一个的解和之前的解的关系。
根据题目给定的条件，枚举若干子状态，然后尝试用这些子状态构造出未知状态的解，就可以轻松得到状态转移方程，当然这一步离不开大量的练习

第四步：为状态添加备忘录或者 DP Table

这个可以说是动态规划最简单的部分，我们仅需要存储子状态的解，以便下次使用子状态时直接查表从内存中获得。

备忘录 vs DP Table

备忘录方法是自顶向下对问题求解，与直接递归方法的控制结构相同，而动态规划方法是自底向上对问题求解，与迭代实现方式的结构一致。

DP Table 法（自底向上的动态规划）

顾名思义，自底向上就是从底部（递归的出口，动态规划中称为 base case）开始，不断向上回溯，计算出问题的解。下面看一下 DP Table 的状态转移过程。
设 DP 问题的基态（Base State）为 dp[0] ，目标状态为 dp[n] 。
如果我们从基态 dp[0] 开始转移，在遵循状态转移方程的情况下到达目标状态 dp[n] ，则将其称为 “自底向上” 的方法。（dp[0] → dp[n]）
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即从小问题，开始慢慢计算，最后得到N的解，这种容易理解。

备忘录法（自顶向下的方法）

从状态 dp[n] 开始，经状态转移向下寻找所需要的子状态的值，直到找到所有与状态 dp[n] 相关的子状态，并返回 dp[n] ，这就是自顶向下的备忘录方法。
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当考虑二维数组的情况下，就像最小成本路径问题一样，此时的内存将不是按照顺序存储。

两者比较

状态：DP Table 状态转移关系较难确定，备忘录状态转移关系较易确定。你可以理解为自顶向下推导较为容易，自底向上推导较难。比如 DP[n] = DP[n - 1] + DP[n - 3] + DP[n-5] 的确定。
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代码：当约束条件较多的情况下，DP Table 较为复杂；备忘录代码相对容易实现和简单，仅需对递归代码进行改造。
效率：动态规划（DP Table）较快，我们可以直接从表中获取子状态的解；备忘录由于大量的递归调用和返回状态操作，速度较慢。
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子问题的解：当所有的子问题的解都至少要被解一遍，自底向上的动态规划算法通常比自顶向下的备忘录方法快常数量级；当求解的问题的子问题空间中的部分子问题不需要计算，仅需求解部分子问题就可以解决原问题，此时备忘录方法要优于动态规划，因为备忘录自顶向下仅存储与原问题求解相关的子问题的解。
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表空间：DP Table 依次填充所有子状态的解；而备忘录不必填充所有子问题的解，而是按需填充。

参考：

1.算法图解-第9章 动态规划（提供了一个形象的由浅入深的认知）
2.动态规划之武林秘籍 https://mp.weixin.qq.com/s/CXLM0KC3eYYl6u2NsCpW4g
（真正让我形成了一定的策略，建议看原文）
3.力扣 题目来源+练习验证

标签：状态,问题,dp,基本思路,动态,规划,DP
来源： https://blog.csdn.net/yks0527/article/details/118658796