P5743 <<小猴吃桃>> 题解

题目：

一只小猴买了若干个桃子。第一天他刚好吃了这些桃子的一半，又贪嘴多吃了一个；接下来的每一天它都会吃剩余的桃子的一半外加一个。第 \(n(n≤20)\) 天早上起来一看，只剩下 \(1\) 个桃子了。请问小猴买了几个桃子？

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无

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无

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4

输出
22

解题思路：

这道题大神们都不屑一顾，我却认为这是一道非常好的试题，可以让孩子们锻炼的东西太多了，太有用了。我试着推导一下，给不清楚的同学解惑。

1、假设第\(10\)天吃完（就是一个猜想的数字，和答案无关，也可以设成第\(i\)天吃完，太小孩子不好理解），就是第\(10\)天早上有\(1\)个桃子，设\(s_{10}=1\)。
2、第\(9\)天早上还未开始吃之前的数量，即\(s_9\),我们想找出 \(s_9\)与\(s_{10}\)之间的关联关系，找到递推公式，就可以实现递推了。
3、第\(9\)天，吃了多少个桃子呢？是当天的一半加1个，就是 吃掉桃子数=\(\frac{s_9}{2}+1\),那么当天吃完剩下的桃子数=\(s_9-(\frac{s_9}{2}+1)\)
4、而第\(9\)吃完剩下的，恰好就是第十天的开始数量，即\(s_{10}=s_9-(\frac{s_9}{2}+1)\)
5、去括号: \(s_{10}=s_9-\frac{s_9}{2}-1=\frac{s_9}{2}-1\)
6、等式两边都乘以\(2\), \(2*s_{10}=2*\frac{s_9}{2}-1*2\)
7、整理得到:\(2*s_{10}=s_9-2\),移项
8、\(s_9=s*s_{10}+2\)
9、如果是其它天数，比如\(i\)，可以整理出通项公式：\(s_i=2*s_{i+1}+2\)

标签：10,P5743,小猴,frac,题解,天吃,桃子,递推
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