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1.初等模型

作者:互联网

1.初等模型

1.1核军备竞赛

1.1.1背景与问题

冷战时期美术声称为了保卫自己的安全,实行**“核威慑战略”**,核军备竞赛不断升级。

随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列核裁军协议。

在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态。

估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受到哪些因素影响。

当一方采取加强防御、提高武器精准度、发展多导弹等措施时,平衡状态会发生什么。

【注:核威慑表示互相确保毁灭达到双方确保安全,对方如果发动核战争对我先下手为强,再打击了我的核设施以后我还有足够的能力毁灭对方一次】

1.1.2模型假设

以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。

假定双方采取如下同样的核威慑战略:

1.1.3问题假设

y = f ( x ) ∼ y=f(x)\sim y=f(x)∼甲有 x x x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线

x = g ( y ) ∼ x=g(y)\sim x=g(y)∼乙有 y y y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线

当 x = 0 x=0 x=0时, y = y 0 y=y_0 y=y0​, y 0 ∼ y_{0}\sim y0​∼乙方的威慑值

y 0 ∼ y_{0}\sim y0​∼$甲方实行第一次打击后已经没有导弹,乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数。
在这里插入图片描述

1.1.4模型分析

乙方残存率 s ∼ s\sim s∼甲方一枚导弹攻击乙方一个基地,基地未被摧毁的概率.

第一种情况:$ x < y x<y x<y

甲方以 x x x枚导弹攻击乙方 y y y个基地中的 x x x个, s x sx sx个基地未被摧毁, y − x y-x y−x个基地未被攻击.

y 0 = s x + y − x y_0=sx+y-x y0​=sx+y−x ⟹ \Longrightarrow ⟹ y = y 0 + ( 1 − s ) x y=y_0+(1-s)x y=y0​+(1−s)x.

第二种情况: x = y x=y x=y

y 0 = s y y_0=sy y0​=sy ⟹ \Longrightarrow ⟹ y = y 0 / s y=y_0/s y=y0​/s.

第三种情况: y < x < 2 y y<x<2y y<x<2y

乙的 x − y x-y x−y个基地被攻击2次, s 2 ( x − y ) s^2(x-y) s2(x−y)个未被摧毁;

y − ( x − y ) = 2 y − x y-(x-y)=2y-x y−(x−y)=2y−x个被攻击1次, s ( 2 y − x ) s(2y-x) s(2y−x)个未被摧毁.

y 0 = s 2 ( x − y ) + s ( 2 y − x ) y_0=s^2(x-y)+s(2y-x) y0​=s2(x−y)+s(2y−x) ⟹ \Longrightarrow ⟹ y = y 0 s ( 2 − s ) + 1 − s 2 − s x y=\frac{y_0}{s(2-s)}+\frac{1-s}{2-s}x y=s(2−s)y0​​+2−s1−s​x.

第四种情况: x = 2 y x=2y x=2y

y 0 = s 2 y y_0=s^2y y0​=s2y ⟹ \Longrightarrow ⟹ y = y 0 / s 2 y=y_0/s^2 y=y0​/s2.

统计规律可得: x = a y x=ay x=ay

y = y 0 s a = y 0 s x / y y=\frac{y_0}{s^a}=\frac{y_0}{s^{x/y}} y=say0​​=sx/yy0​​.
在这里插入图片描述

1.1.4.1模型解释1

甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标
在这里插入图片描述

甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.

1.1.4.2模型解释2

甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架
在这里插入图片描述

甲这种单独行为,会使双方的核导弹减少.

1.1.4.3模型解释3

双方发展多弹头导弹,每个弹头可以独立的摧毁目标
在这里插入图片描述

双方导弹增加还是减少,需要更多信息及更详细的分析.

1.1.5总结

1.2天气预报的评价

1.2.1问题提出

明天是否下雨的天气预报以有雨概率形式给出。已得到某地一个月4种预报方法的有雨概率预报,和实际上有雨或无雨的观测结果。

日期预报A(%)预报B(%)预报C(%)预报D(%)实测(有雨=1,无雨=0)
1903090601
2403050801
30
15103020100
30
31803050100

怎么根据这些数据对4种预报方法给以评价?

1.2.2计数模型

有雨概率=50%,毫无意义,不予统计

yes no 开始给定l,u 明天有雨概率f f>50% f<50% 预报有雨 预报无雨

根据明天是否有雨的实测,统计预报的正确率

序号有雨无雨序号有雨无雨正确率(%)
预报A63实测A101157
预报B09实测B02271
预报C52实测C31781
预报D60实测D22193

从实用角度看,更重要的是误报率

误报率 预报有雨而实测无雨的概率P1 预报无雨而实测有雨的概率P2 造成预防费用浪费 预防不足导致损失

设两种后果的损失之比为1:2 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 误报率 P = P 1 3 + 2 P 2 3 P=\frac{P_1}{3}+\frac{2P_2}{3} P=3P1​​+32P2​​

序号误报率(%)
预报A35
预报B19
预报C20
预报D6

缺点:未考虑预报概率的具体值

1.2.3计分模型

1.2.3.1模型1

将预报有雨概率与实测结果比较并记分

实测有雨 预报有雨概率>0.5 预报无雨概率<0.5 得到相应的正分 得到相应的负分

p k ∼ p_k\sim pk​∼第 k k k天有雨概率, v k = 1 ∼ v_k=1\sim vk​=1∼第 k k k天有雨, v k = 0 ∼ v_k=0\sim vk​=0∼无雨

第 k k k天的预报得分 { p k − 0.5 , v k = 1 0.5 − p k , v k = 0 \begin{cases}p_k-0.5,v_k=1\\0.5-p_k,v_k=0 \end{cases} {pk​−0.5,vk​=10.5−pk​,vk​=0​.对k求和得到的预报分数 S 1 S_1 S1​. S 1 S_1 S1​越大越好。

序号分数
S 1 ( A ) S_1(A) S1​(A)1.0
S 1 ( B ) S_1(B) S1​(B)2.6
S 1 ( C ) S_1(C) S1​(C)7.0
S 1 ( D ) S_1(D) S1​(D)6.7

1.2.3.2模型2

$ p_k\sim 第 第 第k$天预报有雨概率, v k = 1 ∼ v_k=1\sim vk​=1∼第 k k k天有雨, v k = 0 ∼ v_k=0\sim vk​=0∼无雨

第 k k k天的预报得分 s k = ∣ p k − v k ∣ s_k=|p_k-v_k| sk​=∣pk​−vk​∣

对 k k k求和得到预报的分数 s 2 s_2 s2​, s 2 s_2 s2​越小越好

序号分数
S 2 ( A ) S_2(A) S2​(A)14.5
S 2 ( B ) S_2(B) S2​(B)12.9
S 2 ( C ) S_2(C) S2​(C)8.5
S 2 ( D ) S_2(D) S2​(D)8.8

1.2.3.3模型3

第 k k k天的预报得分 s k = ( p k − v k ) 2 s_k=(p_k-v_k)^2 sk​=(pk​−vk​)2

对 k k k求和得到预报的分数 s 3 s_3 s3​, s 3 s_3 s3​越小越好

序号分数
S 3 ( A ) S_3(A) S3​(A)8.95
S 3 ( B ) S_3(B) S3​(B)6.39
S 3 ( C ) S_3(C) S3​(C)4.23
S 3 ( D ) S_3(D) S3​(D)3.21

1.2.3.4总结

序号 S ( A ) S(A) S(A) S ( B ) S(B) S(B) S ( C ) S(C) S(C) S ( D ) S(D) S(D)相对分差
模型一1.02.67.06.71.6和0.3
模型二14.512.98.58.81.6和0.3
模型三8.956.394.233.212.56和1.02

模型一,二对4种预报的优劣排序、相对分差都相同 ⟹ \Longrightarrow ⟹等价

比较模型3与模型2的优劣 f ∼ f\sim f∼理论上的有雨概率

P ( v = 1 ) = f P(v=1)=f P(v=1)=f, P ( v = 0 ) = 1 − f P(v=0)=1-f P(v=0)=1−f

E ( S ) = E [ ( p − 1 ) 2 ] = f ( p − 1 ) 2 + ( 1 − f ) p 2 = f ( 1 − f ) + ( p − f ) 2 E(S)=E[(p-1)^2]=f(p-1)^2+(1-f)p^2=f(1-f)+(p-f)^2 E(S)=E[(p−1)2]=f(p−1)2+(1−f)p2=f(1−f)+(p−f)2

p = f p=f p=f时; E ( S ) E(S) E(S)最小

考察一般模型 S = ( ∣ p − v ∣ ) n S=(|p-v|)^n S=(∣p−v∣)n 求 E ( S ) E(S) E(S)的极值

⟹ \Longrightarrow ⟹ 仅当 n = 2 n=2 n=2时 p = f p=f p=f才能 E ( S ) E(S) E(S)最小

1.2.4深入讨论

评价预报的优劣,需制定评价标准无统一看法,提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准

第一类标准:预报者本身的一致性

指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断,与他对外发布的预报之间的关系。

不完全一致

一致性受预报者控制,外界通常难以掌握

在预报以概率形式给出的情况下,当预报与预报者的判断一致时,才会得到与实际观测最相符的结果。

第二类标准:根据预报和实测间的关系,评价预报的品质

利用预报(随机变量 x x x)与观测(随机变量 y y y)的联合分布 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y).

可靠性:将特定预报 x x x下观测 y y y的条件均值与 x x x之差对所有 x x x平均,作为可靠的数值标准。【注:越小越好】

决定性:将特定预报 x x x下观测 y y y的条件均值与 y y y的无条件均值之差对所有 x x x平均,作为决定性的数量指标。【注:越大越好】

由条件分布 F ( y ∣ x ) F(y|x) F(y∣x)和边际分布 F ( x ) F(x) F(x)计算得到.

分辨度:

由条件分布 F ( x ∣ y ) F(x|y) F(x∣y)和边际分布 F ( y ) F(y) F(y)计算得到.

敏锐性:如预报有雨概率多数接近1或0.

预报本身的敏锐,与事件无关。由边际分布 F ( x ) F(x) F(x)决定

不确定性:实际事件发生的不确定,与预报无关。会给预报带来困难

由边际分布 F ( y ) F(y) F(y)决定

计数、计分、图形模型都从某一侧面反映第二类标准.

第三类标准:利用预报所实现的效益或带来的费用

1.2天气预报的评价

1.2.1问题提出

明天是否下雨的天气预报以有雨概率形式给出。已得到某地一个月4种预报方法的有雨概率预报,和实际上有雨或无雨的观测结果。

日期预报A(%)预报B(%)预报C(%)预报D(%)实测(有雨=1,无雨=0)
1903090601
2403050801
30
15103020100
30
31803050100

怎么根据这些数据对4种预报方法给以评价?

1.2.2计数模型

有雨概率=50%,毫无意义,不予统计

yes no 开始给定l,u 明天有雨概率f f>50% f<50% 预报有雨 预报无雨

根据明天是否有雨的实测,统计预报的正确率

序号有雨无雨序号有雨无雨正确率(%)
预报A63实测A101157
预报B09实测B02271
预报C52实测C31781
预报D60实测D22193

从实用角度看,更重要的是误报率

误报率 预报有雨而实测无雨的概率P1 预报无雨而实测有雨的概率P2 造成预防费用浪费 预防不足导致损失

设两种后果的损失之比为1:2 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 误报率 P = P 1 3 + 2 P 2 3 P=\frac{P_1}{3}+\frac{2P_2}{3} P=3P1​​+32P2​​

序号误报率(%)
预报A35
预报B19
预报C20
预报D6

缺点:未考虑预报概率的具体值

1.2.3计分模型

1.2.3.1模型1

将预报有雨概率与实测结果比较并记分

实测有雨 预报有雨概率>0.5 预报无雨概率<0.5 得到相应的正分 得到相应的负分

p k ∼ p_k\sim pk​∼第 k k k天有雨概率, v k = 1 ∼ v_k=1\sim vk​=1∼第 k k k天有雨, v k = 0 ∼ v_k=0\sim vk​=0∼无雨

第 k k k天的预报得分 { p k − 0.5 , v k = 1 0.5 − p k , v k = 0 \begin{cases}p_k-0.5,v_k=1\\0.5-p_k,v_k=0 \end{cases} {pk​−0.5,vk​=10.5−pk​,vk​=0​.对k求和得到的预报分数 S 1 S_1 S1​. S 1 S_1 S1​越大越好。

序号分数
S 1 ( A ) S_1(A) S1​(A)1.0
S 1 ( B ) S_1(B) S1​(B)2.6
S 1 ( C ) S_1(C) S1​(C)7.0
S 1 ( D ) S_1(D) S1​(D)6.7

1.2.3.2模型2

p k ∼ p_k\sim pk​∼第k天预报有雨概率, v k = 1 ∼ v_k=1\sim vk​=1∼第 k k k天有雨, v k = 0 ∼ v_k=0\sim vk​=0∼无雨

第 k k k天的预报得分 s k = ∣ p k − v k ∣ s_k=|p_k-v_k| sk​=∣pk​−vk​∣

对 k k k求和得到预报的分数 s 2 s_2 s2​, s 2 s_2 s2​越小越好

序号分数
S 2 ( A ) S_2(A) S2​(A)14.5
S 2 ( B ) S_2(B) S2​(B)12.9
S 2 ( C ) S_2(C) S2​(C)8.5
S 2 ( D ) S_2(D) S2​(D)8.8

1.2.3.3模型3

第 k k k天的预报得分 s k = ( p k − v k ) 2 s_k=(p_k-v_k)^2 sk​=(pk​−vk​)2

对 k k k求和得到预报的分数 s 3 s_3 s3​, s 3 s_3 s3​越小越好

序号分数
S 3 ( A ) S_3(A) S3​(A)8.95
S 3 ( B ) S_3(B) S3​(B)6.39
S 3 ( C ) S_3(C) S3​(C)4.23
S 3 ( D ) S_3(D) S3​(D)3.21

1.2.3.4总结

序号 S ( A ) S(A) S(A) S ( B ) S(B) S(B) S ( C ) S(C) S(C) S ( D ) S(D) S(D)相对分差
模型一1.02.67.06.71.6和0.3
模型二14.512.98.58.81.6和0.3
模型三8.956.394.233.212.56和1.02

模型一,二对4种预报的优劣排序、相对分差都相同 ⟹ \Longrightarrow ⟹等价

比较模型3与模型2的优劣 f ∼ f\sim f∼理论上的有雨概率

P ( v = 1 ) = f P(v=1)=f P(v=1)=f, P ( v = 0 ) = 1 − f P(v=0)=1-f P(v=0)=1−f

E ( S ) = E [ ( p − 1 ) 2 ] = f ( p − 1 ) 2 + ( 1 − f ) p 2 = f ( 1 − f ) + ( p − f ) 2 E(S)=E[(p-1)^2]=f(p-1)^2+(1-f)p^2=f(1-f)+(p-f)^2 E(S)=E[(p−1)2]=f(p−1)2+(1−f)p2=f(1−f)+(p−f)2

p = f p=f p=f时; E ( S ) E(S) E(S)最小

考察一般模型 $ S = ( ∣ p − v ∣ ) n S=(|p-v|)^n S=(∣p−v∣)n 求 E ( S ) E(S) E(S)的极值

⟹ \Longrightarrow ⟹ 仅当 n = 2 n=2 n=2时 p = f p=f p=f才能 E ( S ) E(S) E(S)最小

1.2.4深入讨论

评价预报的优劣,需制定评价标准无统一看法,提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准

第一类标准:预报者本身的一致性

指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断,与他对外发布的预报之间的关系。

不完全一致

一致性受预报者控制,外界通常难以掌握

在预报以概率形式给出的情况下,当预报与预报者的判断一致时,才会得到与实际观测最相符的结果。

第二类标准:根据预报和实测间的关系,评价预报的品质

利用预报(随机变量 x x x)与观测(随机变量 y y y)的联合分布 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y).

可靠性:将特定预报 x x x下观测 y y y的条件均值与 x x x之差对所有 x x x平均,作为可靠的数值标准。【注:越小越好】

决定性:将特定预报 x x x下观测 y y y的条件均值与 y y y的无条件均值之差对所有 x x x平均,作为决定性的数量指标。【注:越大越好】

由条件分布 F ( y ∣ x ) F(y|x) F(y∣x)和边际分布 F ( x ) F(x) F(x)计算得到.

分辨度:

由条件分布 F ( x ∣ y ) F(x|y) F(x∣y)和边际分布 F ( y ) F(y) F(y)计算得到.

敏锐性:如预报有雨概率多数接近1或0.

预报本身的敏锐,与事件无关。由边际分布 F ( x ) F(x) F(x)决定

不确定性:实际事件发生的不确定,与预报无关。会给预报带来困难

由边际分布 F ( y ) F(y) F(y)决定

计数、计分、图形模型都从某一侧面反映第二类标准.

第三类标准:利用预报所实现的效益或带来的费用

2.优化模型

2.1存贮模型

2.1.1问题提出

配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时要付贮存费,该厂生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出.

已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费每日每件1元,试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。

【要求:不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系】

2.1.2问题分析

日需求100件,准备费5000元,贮存费每日每件1元.

从宏观分析10天生产一次,平均每天费用最小?

2.1.3模型假设

参数意义
r r r产品每天的需求量
c 1 c_1 c1​每次生产准备费
c 2 c_2 c2​每天每件产品贮存费
Q Q Q生产一次数量
T T T生产一次周期

时间和产量作为连续量处理

【即: r r r, c 1 c_1 c1​, c 2 c_2 c2​已知,求 Q Q Q, T T T使每天总费用的平均值最小】

2.1.4模型建立

贮存量表示为时间的函数 q ( t ) q(t) q(t), t = 0 t=0 t=0生产 Q Q Q件, q ( 0 ) = Q q(0)=Q q(0)=Q, q ( t ) q(t) q(t)以需求速率 r r r递减, q ( T ) = 0 q(T)=0 q(T)=0.

⟹ \Longrightarrow ⟹ Q = r T Q=rT Q=rT

一周期贮存费为: c 2 ∫ 0 T q ( t ) d t = c 3 Q T 2 c_2\int_0^Tq(t)dt=c_3\frac{QT}{2} c2​∫0T​q(t)dt=c3​2QT​.

一周期总费用为: C = C 1 + C 2 Q T 2 = c 1 + c 2 r T 2 2 C=C_1+C_2\frac{QT}{2}=c_1+c_2\frac{rT^2}{2} C=C1​+C2​2QT​=c1​+c2​2rT2​.

每天总费用平均值(目标函数): C ( T ) = C T = c 1 T + c 2 r T 2 C(T)=\frac{C}{T}=\frac{c_1}{T}+\frac{c_2rT}{2} C(T)=TC​=Tc1​​+2c2​rT​.

2.1.5模型求解

求 T T T使 C ( T ) = c 1 T + c 2 r T 2 ⟹ m i n C(T)=\frac{c_1}{T}+\frac{c_2rT}{2} \Longrightarrow min C(T)=Tc1​​+2c2​rT​⟹min.

d C d T = 0 \frac{dC}{dT}=0 dTdC​=0 ⟹ \Longrightarrow ⟹ T = 2 c 1 r c 2 T=\sqrt\frac{2c_1}{rc_2} T=rc2​2c1​​ ​ Q = r T = 2 c 1 r c 2 Q=rT=\sqrt\frac{2c_1r}{c_2} Q=rT=c2​2c1​r​ ​.

定性分析: c 1 ↑ c_1\uparrow c1​↑ ⟹ \Longrightarrow ⟹ T 1 Q ↑ T_1Q\uparrow T1​Q↑ c 2 ↑ c_2\uparrow c2​↑ ⟹ \Longrightarrow ⟹ T 2 Q ↓ T_2Q\downarrow T2​Q↓ r ↑ r\uparrow r↑ ⟹ \Longrightarrow ⟹ R ↓ Q ↑ R\downarrow Q\uparrow R↓Q↑

敏感性分析:参数 c 1 , c 2 , r c_1,c_2,r c1​,c2​,r的微小变化对 T , Q T,Q T,Q的影响

T T T对 c 1 c_1 c1​的(相对)敏感度:

S ( T , c 1 ) = △ T / T △ c 1 / c 1 = d T c 1 c 1 T = 1 2 S(T,c_1)=\frac{△T/T}{△c_1/c_1}=\frac{dT}{c_1}\frac{c_1}{T}=\frac{1}{2} S(T,c1​)=△c1​/c1​△T/T​=c1​dT​Tc1​​=21​.【注: c 1 c_1 c1​增加$1 %, T$ 增加 0.5 0.5 0.5%】

S ( T , c 2 ) = △ T / T △ c 2 / c 2 = d T c 2 c 2 T = − 1 2 S(T,c_2)=\frac{△T/T}{△c_2/c_2}=\frac{dT}{c_2}\frac{c_2}{T}=-\frac{1}{2} S(T,c2​)=△c2​/c2​△T/T​=c2​dT​Tc2​​=−21​.【注: c 2 c_2 c2​或 r r r增加 1 1 1%, T T T 减少 0.5 0.5 0.5%】

2.1.6模型应用

T = 2 c 1 r c 2 T=\sqrt\frac{2c_1}{rc_2} T=rc2​2c1​​ ​ Q = r T = 2 c 1 r c 2 Q=rT=\sqrt\frac{2c_1r}{c_2} Q=rT=c2​2c1​r​ ​.

⟹ \Longrightarrow ⟹ T = 10 ( 天 ) T=10(天) T=10(天), Q = 1000 ( 件 ) Q=1000(件) Q=1000(件), C = 1000 ( 元 ) C=1000(元) C=1000(元)

引出问题:为什么这里一周期每天总费用平均值为1000元与前面计算一周期每天总费用平均值950元,两者之间有什么区别?

分析:当贮存量降到零时, Q Q Q件立即到货

经济批量订货公式(EOQ),不允许缺货的存贮模型

2.1.7模型延伸

允许缺货的存贮模型:

当贮存量降到零时仍有需求 r r r,出现缺货,造成损失.

原模型假设:贮存量降到零时 Q Q Q件立即生产出来(或立即到货)

现假设:允许缺货,每天每件缺货损失费 c 3 c_3 c3​,缺货需补足.

周期 T T T, t = T 1 t=T_1 t=T1​贮存量降到零

一周期贮存费: c 2 ∫ 0 T 1 q ( t ) d t = c 2 A c_2\int_0^{T_1}q(t)dt=c_2A c2​∫0T1​​q(t)dt=c2​A.

一周期缺货费: c 3 ∫ T 1 T ∣ q ( t ) ∣ d t = c 3 B c_3\int_{T_1}^{T}|q(t)|dt=c_3B c3​∫T1​T​∣q(t)∣dt=c3​B.

一周期总费用: C = c 1 + c 2 Q T 1 2 + c 3 r ( T − T 1 ) 2 2 = c 1 + 1 2 c 2 Q T 1 + 1 2 c 3 r ( T − T 1 ) 2 C=c_1+c_2\frac{QT_1}{2}+c_3\frac{r(T-T_1)^2}{2}=c_1+\frac{1}{2}c_2QT_1+\frac{1}{2}c_3 r(T-T_1)^2 C=c1​+c2​2QT1​​+c3​2r(T−T1​)2​=c1​+21​c2​QT1​+21​c3​r(T−T1​)2.

每天总费用平均值(目标函数): C ( T , Q ) = C T = c 1 T + c 2 Q 2 2 r T + c 3 ( d r T − Q ) 2 2 r T C(T,Q)=\frac{C}{T}=\frac{c_1}{T}+\frac{c_2Q^2}{2rT}+\frac{c_3(drT-Q)^2}{2rT} C(T,Q)=TC​=Tc1​​+2rTc2​Q2​+2rTc3​(drT−Q)2​.

求 T , Q T,Q T,Q使 C ( T , Q ) ⟹ M i n C(T,Q) \Longrightarrow Min C(T,Q)⟹Min.

∂ C ∂ T = 0 \frac{\partial C}{\partial T}=0 ∂T∂C​=0, ∂ C ∂ Q = 0 \frac{\partial C}{\partial Q}=0 ∂Q∂C​=0. 为与不允许缺货的存贮模型相比, T T T记作 T ′ T' T′, Q Q Q记作 Q ′ Q' Q′.

T ′ = 2 c 1 r c 2 c 2 + c 3 c 3 T'=\sqrt {\frac{2c_1}{rc_2}\frac{c_2+c_3}{c_3}} T′=rc2​2c1​​c3​c2​+c3​​ ​. Q ′ = 2 c 1 r c 2 Q'=\sqrt{\frac{2c_1r}{c_2}\frac{}{}} Q′=c2​2c1​r​​

2.1.8比较缺货模型与不允许缺货模型

允许缺货模型: T ′ = 2 c 1 r c 2 c 2 + c 3 c 3 T'=\sqrt{\frac{2c_1}{rc_2}\frac{c_2+c_3}{c_3}} T′=rc2​2c1​​c3​c2​+c3​​ ​. Q ′ = 2 c 1 r c 2 c 3 c 2 + c 3 Q'=\sqrt {\frac{2c_1r}{c_2}\frac{c_3}{c_2+c_3}} Q′=c2​2c1​r​c2​+c3​c3​​ ​.

不允许缺货模型: T = 2 c 1 r c 2 T=\sqrt{\frac{2c_1}{rc_2}} T=rc2​2c1​​ ​. Q = r T = 2 c 1 r c 2 Q=rT=\sqrt{\frac{2c_1r}{c_2}} Q=rT=c2​2c1​r​ ​.

记: μ = c 2 + c 3 c 3 \mu=\sqrt{\frac{c_2+c_3}{c_3}} μ=c3​c2​+c3​​ ​. T ′ = μ T T'=\mu T T′=μT, Q ′ = Q μ Q'=\frac{Q}{\mu} Q′=μQ​.

敏感性分析:

2.1.9总结

2.2.1背景与问题

机体提供能量维持血液在血管中的流动,给血管壁以营养,客服血液流动的阻力,消耗能量与取决于血管的几何形状。在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则。

研究在能量最小原则下,血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度。

2.2.2模型假设

一条粗血管和两条细血管在分支点对称地出于同一平面。

血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动。

在这里插入图片描述

血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加,管壁厚度 d d d近似于与血管半径 r r r成正比。

2.2.3模型分析

考察血管 A C AC AC与 C B CB CB, C B ′ CB' CB′. q 1 q_1 q1​

现分析得出 q = 2 q 1 q=2q_1 q=2q1​, 未知 r / r 1 , θ ? r/r_1,\theta? r/r1​,θ?

粘性流体在刚性管道中运动: q = π r 4 Δ p 8 μ l q=\frac{\pi r^4 \Delta p}{8\mu l} q=8μlπr4Δp​.

Δ p ∼ A , C \Delta p \sim A,C Δp∼A,C压力差 μ ∼ \mu \sim μ∼粘性系数

克服阻力消耗能量 E 1 E_1 E1​: E 1 = q Δ p = 8 μ q 2 l π r 4 E_1=q\Delta p=\frac{8\mu q^2 l}{\pi r^4} E1​=qΔp=πr48μq2l​.

提供营养消耗能量: E 2 E_2 E2​. 管壁内表面积: 2 π r l 2\pi rl 2πrl.

管壁体积: π ( d + r ) 2 − π d 2 = \pi(d+r)^2-\pi d^2= π(d+r)2−πd2= π ( d 2 + 2 r d ) l \pi(d^2+2rd)l π(d2+2rd)l, 管壁厚度 d d d r r r成正比: E 2 = b r a l , 1 ⩽ α ⩽ 2 E_2=br^al,1\leqslant \alpha \leqslant2 E2​=bral,1⩽α⩽2, b b b为常数

l = L − H / t a n ( θ ) l=L-H/tan(\theta) l=L−H/tan(θ), l 1 = H / s i n ( θ ) l_1=H/sin(\theta) l1​=H/sin(θ).

机体为血液提供能量

E = E 1 + E 2 = ( k q 2 r 4 ) l + ( k q 1 2 r 1 4 + b r 1 α ) 2 l 1 E=E_1+E_2=(\frac{kq^2}{r^4})l+(\frac{kq_1^2}{r_1^4}+br_1^{\alpha})2l_1 E=E1​+E2​=(r4kq2​)l+(r14​kq12​​+br1α​)2l1​.

E ( r , r 1 , θ ) = ( k q 2 r 4 + b r α ) ( L − H t a n ( θ ) ) + ( k q 1 2 r 1 4 + b r 1 α ) 2 H s i n ( θ ) E(r,r_1,\theta)=(\frac{kq^2}{r^4}+br^{\alpha})(L-\frac{H}{tan(\theta)})+(\frac{kq_1^2}{r_1^4}+br_1^{\alpha})2\frac{H}{sin(\theta)} E(r,r1​,θ)=(r4kq2​+brα)(L−tan(θ)H​)+(r14​kq12​​+br1α​)2sin(θ)H​.

2.2.4符号说明

符号意义符号意义
l l l A − C A-C A−C$距离 E 1 E_1 E1​克服阻力消耗能量
L L L A − B / B ′ A-B/B' A−B/B′距离 E 2 E_2 E2​提供营养消耗能量
H H H B − D B-D B−D距离 r r r粗血管半径
θ \theta θ ∠ B C D \angle BCD ∠BCD角度 r 1 r_1 r1​细血管半径
Δ p \Delta p Δp A − C A-C A−C压力差 d d d整个管壁的半径
μ \mu μ粘性系数 E E E整个机体为血液提供的能量

2.2.5模型建立并求解

E ( r , r 1 , θ ) = ( k q 2 r 4 + b r α ) ( L − H t a n ( θ ) ) + ( k q 1 2 r 1 4 + b r 1 α ) 2 H s i n ( θ ) E(r,r_1,\theta)=(\frac{kq^2}{r^4}+br^{\alpha})(L-\frac{H}{tan(\theta)})+(\frac{kq_1^2}{r_1^4}+br_1^{\alpha})2\frac{H}{sin(\theta)} E(r,r1​,θ)=(r4kq2​+brα)(L−tan(θ)H​)+(r14​kq12​​+br1α​)2sin(θ)H​.

∂ E ∂ r = 0 \frac{\partial E}{\partial r}=0 ∂r∂E​=0, $ ∂ E ∂ r 1 = 0 \frac{\partial E}{\partial r_1}=0 ∂r1​∂E​=0.

⟹ \Longrightarrow ⟹ { b α r α − 1 − 4 k q 2 r 5 = 0 b α r 1 α − 1 − 4 k q 1 2 r 1 5 = 0 \begin{cases}b\alpha r^{\alpha-1}-\frac{4kq^2}{r^5}=0\\b\alpha r^{\alpha-1}_1-\frac{4kq_1^2}{r_1^5}=0 \end{cases} {bαrα−1−r54kq2​=0bαr1α−1​−r15​4kq12​​=0​. r r 1 = 4 1 α + 4 \frac{r}{r_1}=4^{\frac{1}{\alpha+4}} r1​r​=4α+41​.

∂ E ∂ θ = 0 , \frac{\partial E}{\partial \theta}=0, ∂θ∂E​=0, ⟹ \Longrightarrow ⟹ c o s ( θ ) = 2 ( r r 1 ) − 4 cos(\theta)=2(\frac{r}{r_1})^{-4} cos(θ)=2(r1​r​)−4. c o s ( θ ) = 2 α − 4 α + 4 cos(\theta)=2^{\frac{\alpha-4}{\alpha+4}} cos(θ)=2α+4α−4​.

1 ⩽ α ⩽ 2 1\leqslant \alpha \leqslant2 1⩽α⩽2. 1.26 ⩽   r / r 1 ⩽ 1.32 1.26\leqslant \ r/r_1 \leqslant 1.32 1.26⩽ r/r1​⩽1.32. 3 7 。 ⩽ θ ⩽ 4 9 。 37^{。}\leqslant \theta \leqslant 49^{。} 37。⩽θ⩽49。.

2.2.6模型解释并延伸

1 ⩽ α ⩽ 2 1\leqslant \alpha \leqslant2 1⩽α⩽2. 1.26 ⩽   r / r 1 ⩽ 1.32 1.26\leqslant \ r/r_1 \leqslant 1.32 1.26⩽ r/r1​⩽1.32. 3 7 。 ⩽ θ ⩽ 4 9 。 37^{。}\leqslant \theta \leqslant 49^{。} 37。⩽θ⩽49。.

此结果与生物学家:结果与观测大致吻合

推论:大动脉到毛细血管有 n n n次分岔, n = ? n=? n=?

观察:狗的血管在 r m a x / r m i n ≈ 1000 ≈ 4 5 r_{max}/r_{min} \approx 1000 \approx 4^5 rmax​/rmin​≈1000≈45.

n ≈ 5 ( α + 4 ) n\approx5(\alpha+4) n≈5(α+4). 1 ⩽ α ⩽ 2 1\leqslant \alpha \leqslant 2 1⩽α⩽2. n ≈ 25 ∼ 30 n\approx 25\sim30 n≈25∼30.

血管总条数: 2 n ≈ 2 25 ∼ 2 30 ≈ 3 × 1 0 7 ∼ 1 0 9 2^n \approx 2^{25} \sim 2^{30} \approx 3 \times10^7 \sim 10^9 2n≈225∼230≈3×107∼109.

2.2.7总结

2.3冰山运输

2.3.1背景与问题

1.日租金和最大运量
船型
日租金(英镑) 4.0 4.0 4.0 6.2 6.2 6.2 8.0 8.0 8.0
最大运量( m 3 m^3 m3) 5 × 1 0 5 5\times 10^5 5×105 1 0 6 10^6 106 1 0 7 10^7 107
2.燃料消耗(英镑/km)
船速( k m / h km/h km/h)\冰山体积( m 3 m^3 m3) 1 0 5 10^5 105 1 0 6 10^6 106 1 0 7 10^7 107
1 1 1 8.4 8.4 8.4 10.5 10.5 10.5 12.6 12.6 12.6
3 3 3 10.8 10.8 10.8 13.5 13.5 13.5 16.2 16.2 16.2
5 5 5 13.2 13.2 13.2 16.5 16.5 16.5 19.8 19.8 19.8

选择船型和船速,使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低,并与淡化海水的费用比较。

2.3.2模型假设

2.3.3问题分析

总费用 燃料消耗 租金 船型 船速 船型

运输中融化的规律:

船型 初始冰山体积 目的地冰体积 目的地水体积

一.冰山融化规律

船速 u ( k m / h ) u(km/h) u(km/h)与南极距离 d ( k m ) d(km) d(km)融化速率 r ( m / 天 ) r(m/天) r(m/天).

u\r\d 0 0 0 1000 1000 1000 > 4000 >4000 >4000
1 1 1 0 0 0 0.1 0.1 0.1 0.3 0.3 0.3
3 3 3 0 0 0 0.15 0.15 0.15 0.45 0.45 0.45
5 5 5 0 0 0 0.2 0.2 0.2 0.6 0.6 0.6

规 律 关 系 { r 是 u 的 线 性 函 数 d < 4000 时 , u 与 d 成 正 比 d > 4000 时 , u 与 d 无 关 规律关系\begin{cases} r是u的线性函数\\d<4000时,u与d成正比\\d>4000时,u与d无关\end{cases} 规律关系⎩⎪⎨⎪⎧​r是u的线性函数d<4000时,u与d成正比d>4000时,u与d无关​. r = { a 1 d ( 1 + b u ) , 0 ≤ d ≤ 4000 a 2 ( 1 + b u ) , d > 4000 r=\begin{cases}a_1d(1+bu),0\leq d \leq4000\\a_2(1+bu),d>4000 \end{cases} r={a1​d(1+bu),0≤d≤4000a2​(1+bu),d>4000​. a 1 = 6.5 × 1 0 − 5 , a 2 = 0.2 , b = 0.4 a_1=6.5\times10^{-5},a_2=0.2,b=0.4 a1​=6.5×10−5,a2​=0.2,b=0.4

航行 t t t天, d = 24 u t d=24ut d=24ut

第 t t t天融化速率, r 1 { 1.56 × 1 0 − 3 u ( 1 + 0.4 u ) t , 0 ≤ t ≤ 1000 6 u 0.2 ( 1 + 0.4 u ) , t > f r a c 1000 6 u r_1 \begin{cases}1.56\times10^{-3}u(1+0.4u)t,0\leq t\leq \frac{1000}{6u} \\0.2(1+0.4u),t>frac{1000}{6u}\end{cases} r1​{1.56×10−3u(1+0.4u)t,0≤t≤6u1000​0.2(1+0.4u),t>frac10006u​.

冰山初始半径: R 0 R_0 R0​; 航行 t t t天时半径: R t = R 0 − ∑ k = 1 r r k R_t=R_0-\sum\limits_{k=1}^{r}r_k Rt​=R0​−k=1∑r​rk​.

冰山初始体积: V 0 = 4 π 3 R 0 3 V_0=\frac{4\pi}{3}R^3_0 V0​=34π​R03​; t t t天时体积: V 1 = 4 π 3 R t 3 V_1=\frac{4\pi}{3}R^3_t V1​=34π​Rt3​

选定 u u u, V 0 V_0 V0​,航行 t t t天时冰山体积: V ( u , V 0 , t ) = 4 π 3 { ( 3 V 0 4 π ) 1 3 − ∑ k = 1 t r k } 3 V(u,V_0,t)=\frac{4\pi}{3}\{(\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_k \}^3 V(u,V0​,t)=34π​{(4π3V0​​)31​−k=1∑t​rk​}3.

总航行天数: T = 9600 24 u = 400 u T=\frac{9600}{24u}=\frac{400}{u} T=24u9600​=u400​.

到达目的地时冰山体积: V ( u , V 0 ) = 4 π 3 { ( 3 V 0 4 π ) 1 3 − ∑ k = 1 t r t } 3 V(u,V_0)=\frac{4\pi}{3}\{(\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_t \}^3 V(u,V0​)=34π​{(4π3V0​​)31​−k=1∑t​rt​}3.

二.燃料消耗

燃料消耗 q 1 ( 英 镑 / k m ) q_1(英镑/km) q1​(英镑/km), q 1 q_1 q1​对 u u u线性,对 lg ⁡ V \lg{V} lgV线性

u\q_1\I^{\alpha} 1 0 5 10^5 105 1 0 6 10^6 106 1 0 7 10^7 107
1 1 1 8.4 8.4 8.4 10.5 10.5 10.5 12.6 12.6 12.6
3 3 3 10.8 10.8 10.8 13.5 13.5 13.5 16.2 16.2 16.2
5 5 5 13.2 13.2 13.2 16.5 16.5 16.5 19.8 19.8 19.8

q 1 = c 1 ( u + c 2 ) ( lg ⁡ V + c 3 ) q_1=c_1(u+c_2)(\lg{V}+c_3) q1​=c1​(u+c2​)(lgV+c3​); c 1 = 0.3 c_1=0.3 c1​=0.3, c 2 = 6 c_2=6 c2​=6, c 3 = − 1 c_3=-1 c3​=−1.

选定 u u u, V 0 V_0 V0​,航行第 t t t燃料消耗 q ( 英 镑 / 天 ) q(英镑/天) q(英镑/天).

q ( u , V 0 , t ) = 24 u ⋅ c 1 ( u + c 2 ) [ lg ⁡ V ( u , V 0 , t ) + c 3 ] = 7.2 u ( u + 6 ) [ lg ⁡ 4 π 3 ( ( 3 V 0 4 π ) 1 3 − ∑ k = 1 t r k ) 3 − 1 ] q(u,V_{0},t)=24u\cdot c_1(u+c_2)[\lg{V}(u,V_{0,t})+c_3]=7.2u(u+6)[\lg{\frac{4\pi}{3}((\frac{3V_{0}}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_k})^3-1] q(u,V0​,t)=24u⋅c1​(u+c2​)[lgV(u,V0,t​)+c3​]=7.2u(u+6)[lg34π​((4π3V0​​)31​−k=1∑t​rk​)3−1].

燃料消耗总费用: Q ( u , V 0 ) = ∑ i = 1 T q ( u , V 0 , t ) Q(u,V_0)=\sum\limits_{i=1}^{T}q(u,V_0,t) Q(u,V0​)=i=1∑T​q(u,V0​,t).

三.运送每立方米水费用

冰山初始体积 V 0 V_0 V0​的日租金 f ( V 0 ) ( 英 镑 ) f(V_0)(英镑) f(V0​)(英镑)

V 0 V_0 V0​$ 5 × 1 0 5 5\times10^5 5×105 1 0 6 10^6 106 1 0 ∝ 10^{\propto} 10∝
f ( V 0 ) f(V_0) f(V0​) 4. 4. 4.$ 6.2 6.2 6.2 8.0 8.0 8.0

航行天数: T = 400 u T=\frac{400}{u} T=u400​; 拖船租金费用: R ( u , V 0 ) = f ( V 0 ) ⋅ 400 u R(u,V_0)=f(V_0)\cdot \frac{400}{u} R(u,V0​)=f(V0​)⋅u400​.

总燃料消耗总费用:

Q ( u , V 0 ) = ∑ i = 1 T 7.2 u ( U + 6 ) [ lg ⁡ 4 π 3 ( ( 3 V 0 4 π ) 1 3 − ∑ k = 1 t r k ) 3 − 1 ] Q(u,V_0)=\sum\limits_{i=1}^{T}7.2u(U+6)[\lg{\frac{4\pi}{3}((\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_k)^3}-1] Q(u,V0​)=i=1∑T​7.2u(U+6)[lg34π​((4π3V0​​)31​−k=1∑t​rk​)3−1].

冰山运输总费用: S ( u , V 0 ) = R ( u , V 0 ) + Q ( u , V 0 ) S(u,V_0)=R(u,V_0)+Q(u,V_0) S(u,V0​)=R(u,V0​)+Q(u,V0​).

到达目的地时冰山体积; V ( u , V 0 ) = 4 π 3 ( ( 3 V 0 4 π ) 1 3 − ∑ t = 1 T r t ) 3 V(u,V_0)={\frac{4\pi}{3}((\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{t=1}^{T}r_t)^3} V(u,V0​)=34π​((4π3V0​​)31​−t=1∑T​rt​)3.

冰山运输总费用: S ( u , V 0 ) = R ( u , V 0 ) + Q ( u , V 0 ) S(u,V_0)=R(u,V_0)+Q(u,V_0) S(u,V0​)=R(u,V0​)+Q(u,V0​)。

运送每立方米水费用: Y ( u , V 0 ) = S ( u , V 0 ) W ( u , V 0 ) Y(u,V_0)=\frac{S(u,V_0)}{W(u,V_0)} Y(u,V0​)=W(u,V0​)S(u,V0​)​.

2.3.4符号说明

符号意义符号意义
R 0 R_0 R0​冰山初始半径 V ( u , V 0 ) V(u,V_0) V(u,V0​)到达目的地时冰山体积
u u u船速 q 1 q_1 q1​燃料消耗
d d d到南极距离 Q Q Q燃料消耗总费用
r r r融化速率 f ( V 0 ) f(V_0) f(V0​)日租金
t t t航行天数 R R R$拖船租金费用
V 0 V_0 V0​冰山初始体积 S ( u , V 0 ) S(u,V_0) S(u,V0​)冰山运输总费用
T T T总航行天数 W ( u , V 0 ) W(u,V_0) W(u,V0​)冰山到达目的地后得到的水体积
Y ( u , V 0 ) Y(u,V_0) Y(u,V0​)运送每立方米费用

2.3.5模型建立并求解

选择船型和船速,式冰山到达目的地后每立方米水的费用最低( 求 u , V 0 使 Y ( u , V 0 ) 最 小 求u,V_0使Y(u,V_0)最小 求u,V0​使Y(u,V0​)最小).

V 0 只 能 取 离 散 值 经 验 公 式 很 粗 糙 V_0只能取离散值经验公式很粗糙 V0​只能取离散值经验公式很粗糙. ⟹ \Longrightarrow ⟹ 取 几 组 ( V 0 , u ) 用 枚 举 法 计 算 取几组(V_0,u)用枚举法计算 取几组(V0​,u)用枚举法计算

到达目的地时冰山体积: V ( u , V 0 ) = 4 π 3 { ( 3 V 0 4 π ) 1 3 − ∑ k = 1 t r t } 3 V(u,V_0)=\frac{4\pi}{3}\{(\frac{3V_0}{4\pi})^{\frac{1}{3}}-\sum\limits_{k=1}^{t}r_t \}^3 V(u,V0​)=34π​{(4π3V0​​)31​−k=1∑t​rt​}3.

燃料消耗总费用: Q ( u , V 0 ) = ∑ i = 1 T q ( u , V 0 , t ) Q(u,V_0)=\sum\limits_{i=1}^{T}q(u,V_0,t) Q(u,V0​)=i=1∑T​q(u,V0​,t).

运送每立方米水费用: Y ( u , V 0 ) = S ( u , V 0 ) W ( u , V 0 ) Y(u,V_0)=\frac{S(u,V_0)}{W(u,V_0)} Y(u,V0​)=W(u,V0​)S(u,V0​)​.

U_0\u 3 3 3 3.5 3.5 3.5 4 4 4 4.5 4.5 4.5 5 5 5
1 0 7 10^7 107 0.0723 0.0723 0.0723 0.0683 0.0683 0.0683 0.0649 0.0649 0.0649 0.0663 0.0663 0.0663 0.0658 0.0658 0.0658
5 × 1 0 6 5\times10^6 5×106 0.2251 0.2251 0.2251 0.2013 0.2013 0.2013 0.1834 0.1834 0.1834 0.1842 0.1842 0.1842 0179 0179 0179
1 0 6 10^6 106 78.9032 78.9032 78.9032 9.8032 9.8032 9.8032 6.2138 6.2138 6.2138 5.4647 5.4647 5.4647 4.5102 4.5102 4.5102

⟹ \Longrightarrow ⟹ u = 4 ∼ 5 ( k m / h ) , V 0 = 1 0 7 ( m 3 ) , Y ( u , V 0 ) u=4\sim5(km/h),V_0=10^7(m^3),Y(u,V_0) u=4∼5(km/h),V0​=107(m3),Y(u,V0​).

2.3.6结果分析

大小拖船 V 0 = 1 0 7 ( m 3 ) V_0=10^7(m^3) V0​=107(m3),船速 u = 4 ∼ 5 ( k m / h ) u=4\sim5(km/h) u=4∼5(km/h),冰山到达目的地后没立方米的费用 Y ( u , V 0 ) Y(u,V_0) Y(u,V0​)约0.065(英镑).

2.3.7总结

标签:frac,模型,预报,V0,Longrightarrow,c2,初等
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