利用等式关系构造微分方程求解一道偏导数问题

设函数具有二阶连续导数，，，且当时，满足等式

求函数

解析：分析，题目给出了偏导数，所以我们首先求出偏导数，根据偏导数对应的法则，可以求得，，，；带入等式有

即有，此方程是二阶常微分方程，先求通解，再求特解； 通解的特征方程为，解为，所以通解为，特解可以设，带入得 ，解得， 所以原方程通解为

点评：综合考察了偏导数的定义，以及构造微分方程得思想，后面解常微分方程是一个常规解法，考察的点多，是一道好题。