首页 > 其他分享> > 军队文职(数学2+物理)——线性代数 2、矩阵

军队文职(数学2+物理)——线性代数 2、矩阵

2021-07-01 11:30:11 作者：互联网

由高斯消元法的定义可知，高斯消元法需要掌握矩阵、增广矩阵、行阶梯阵相关的知识

一、矩阵的概念

由m×n个数 $a_{ij}$ 排成m行n列的数表，记为 $A=A_{m \times n}=(a_{ij})_{mn}=a_{ij}$ 。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

二、特殊矩阵

1)同型矩阵 $A_{m\times n}$ $B_{m\times n}$

2)n阶矩阵(方阵) 当m=n时，称作n阶矩阵或方阵，记作 $A_{n}$ ,题目中的方程系数组成的矩阵就是3阶方阵

$A_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 2& 1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& 2 \end{pmatrix}$

3)行(列)矩阵 当m=1时时,称作行矩阵或行向量，当n=1时时,称作列矩阵或列向量，题目中的方程常数项组成的矩阵就是列向量

$\begin{pmatrix} 7\\ 7 \\18 \end{pmatrix}$

4)零矩阵 即所有元素皆为0的矩阵

5)对角矩阵 对角矩阵是一个主对角线(只有方阵才有对角线)之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。n阶零矩阵(方阵)，也属于对角矩阵。

对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；

对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

6)单位矩阵 方阵，且从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1，除此以外全都为0 。如： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=\square \\ x_{2}=\square \\ x_{3}=\square \end{matrix}\right.$ ,可见单位矩阵下，方程组的解就是方程的常数。

三、矩阵的运算

1)矩阵的相等同型矩阵

$A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}$

2)加减法同型矩阵

$A\pm B=\begin{pmatrix} a_{11}\pm b_{11}& ... & a_{1n}\pm b_{1n}\\ ...& ...& ...\\ a_{m1}\pm b_{m1}& ... & a_{mn}\pm b_{mn} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& 1& 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\ 2& 2& 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\ 3& 3& 3 \end{pmatrix}$

3)数乘

$\lambda A=A\lambda=\begin{pmatrix} \lambda a_{11}& ... & \lambda a_{1n}\\ ...& ...& ...\\ \lambda a_{m1}& ... & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}$

$\frac{3}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\ 2& 2& 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3\\ 3& 3& 3 \end{pmatrix}$

4)矩阵的乘法

矩阵对应二维数组，几乎所有相关的算法题都是线性代数中的矩阵题，其中矩阵的乘法和转置是最常见的题目。

设A为m×p的矩阵，B为p×n的矩阵，那么称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为 $C_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...a_{ip}b_{pj}$

$C_{ij}$ 为A的第i行所有元素与B的第j列所有元素相乘后相加。

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\Rightarrow AB=3$

$A=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow AB=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1 \end{pmatrix}$

5)方阵的幂

① $A^{k}=A\cdot A...\cdot A$ ② $A^{k}\cdot A^{l}=A^{k+l}$ ③ $(A^{k})^{l}=A^{kl}$

6)转置

设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：把m×n矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵，此矩阵叫做A的转置矩阵，记做或 $A^{T}$ 或者 $A^{'}$

标签：对角,转置,元素,矩阵,线性代数,对角线,文职,方阵
来源： https://blog.csdn.net/m0_37057454/article/details/118328408