前缀和与差分

一、一维前缀和

场景模拟：

老师让班长糖豆帮着计算一下全班同学语文考试的总分，老师负责读每个同学的分数，糖豆负责计算。

老师：“第一名，张三 100分”， 糖豆记录如下：100分
老师：“第二名，李四 99分”， 糖豆记录如下：199分
老师：“第三名，王五 98分”， 糖豆记录如下：297分
...
老师：“第四十五名，赵九 60分”， 糖豆记录如下：4239分

完事了，糖豆汇报总分：“4239分！任务结束！”

老师想了一想，问了一句：“那前十名共多少分？”
糖豆有点懵，只能让老师从第一名开始到第十名再读一次。^_

老师又想问:"那前二十名共多少分？"
糖豆彻底懵了，只能让老师从第一名开始到第二十名再读一次。^_

老师也疯了！！！

看来这个办法不太行，老师的需求总变化！

那有什么办法呢？？聪明的糖豆总会有办法的：

记录前\(i\)个同学的分数总和!

来吧，老师，你说你想要啥？

我想要前20名的分数总和！
没问题，我记的就是这个，给你！

我想要20至30名的分数总和！
啊？？？还想这么要？怎么办呢？

我们用数学的公式来描述一下，这样方便说明：
\(a[i]\)代表\(i\)号同学分数，\(s[i]\)代表\(i\)号同学及他以前的所有同学的分数总和。

那么有下面的关系式：
\(s[i-1]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1]\)
\(s[i]=\ \ \ \ \ \ \ a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i-1]+a[i]\)

$s[i]=s[i-1]+a[i]$

我们如果记录了这个\(s[i]\)，就能回答好多的问题：

1、第5名同学的分数是多少？
答：\(s[5]-s[4]\)

2、第1名到第10名同学的分数和是多少？
答：\(s[10]\)

3、第5名到第10名同学的分数和是多少？
答：\(s[10]-s[4]\)

前缀和一般从数下标1开始，这是因为它的定义是\(s[i]=s[i-1]+a[i]\),如果\(i\)从\(0\)开始，\(s\)数组下标就会出现负数，这样还需一堆\(if\)判断，麻烦，所以，一般为了代码简单，我们都把\(a[0]=0\),通常在全局变量区域里定义\(a\)数组，这样连\(a[0]=0\)也省略了，\(s[0]\)其实也是定义在全局变量区域的，所以\(s[0]=0\)，这样操作代码就简单了。

2、把前缀和整理一下公式：
\(s[n] \ \ \ \ \ \ \ =a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n-1]+a[n]\)
\(s[n-1] =a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n-1]\)

所以上面两个等式左右都相减，得到
\(s[n]-s[n-1]=a[n]\),移项就是 \(s[n]=s[n-1]+a[n]\)

3、一维前缀和使用的场景
给定一个原始数组，后面需要多次查询某一个的数值和，比如 1 2 3 4 6 3 7 8 9 10，10个数字，需要问N次，每次问从x到y的位置，相加的和是几。

如果按普通想法，就是每问一次就计算一次，不利用以前的结果。这样假设每次的l到r的距离是m,很显然，共需要m*N次操作，如果使用了前缀和的预处理，计算一次前缀和，就是N次运算，得到一个结果数组S[N]，以后每次查询都是 \(s[r]-s[l-1]\)，就是一次运算，即O(1)的时间复杂度，快了很多。核心就是预处理，找规律嘛。

C++ 代码

#include<cstdio>

using namespace std;
const int N = 100010;
int q[N], s[N];
//一维前缀和
int main() {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &q[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) s[i] = s[i - 1] + q[i];
    
    while (m--) {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);
    }
    return 0;
}

标签：分数,10,前缀,糖豆,int,老师,差分
来源： https://www.cnblogs.com/littlehb/p/14957309.html