[提高组集训2021] 粉刷匠

一、题目

题目描述

\(zxy\) 要刷题，现在有一片 \(n\times m\) 的矩阵题库，每个格子对应一道题，他想把一些题刷 \(\tt Wa\)，另一些题刷 \(\tt Tle\)，每次可以选一整行或者一整列刷题。初始时每道题都没有提交，提交记录会覆盖，问达到目标刷题状态的最小步数，无解输出 \(-1\)

\(n,m\leq3000\)

解法1

考虑图论，每行每列的点拆成刷红或者刷蓝，代表选取的不同方案，我们把决策建在了点上，考虑把限制建在边上。也就是如果 \((i,j)\) 是蓝色，那么点 \(row(i,R)\) 连向 \(col(j,B)\)，点 \(col(j,R)\) 连向 \(row(i,B)\)，这里的边代表刷了起点就必须刷终点，\((i,j)\) 为红色的情况同理。

无解的情况是出现环，如果没有无解，考虑如果刷一个点那么管辖范围内的点都要刷，可以按照拓扑序来刷，那么每个点最多刷一次就足以解决限制。这说明了答案的上界是 \(n+m\)（如果是某个点的刷红连向了刷蓝，那么一定选刷蓝，因为刷红是完全无效的！），现在要刷满行或者刷满列才行，考试时我在图上决策，发现根本做不动！

这时候要回到原图了！考虑刷满行的情况，每行都要刷红或者刷蓝，如果某个列和行决策颜色对应相同，那么就不需要染色了，否则一定需要染色。那么我们把每个列 \(\tt hash\) 一下，找到数量最大的列的种类，设数量是 \(x\)，可以通过设置行的决策来让这些列都不选，那么答案就是 \(n+m-x\)，并且根据图论我们知道这样做合法且最优。对于刷满列的情况同理，把行 \(\tt hash\) 一下即可，时间复杂度 \(O(nm)\)

解法2

最后一步刷的一定是整行整列颜色相同的，可以根据这个性质去倒推，留给读者思考吧

总结

复杂的问题可以考虑图论，但是不要被图所困住了，原问题对于图论是及其重要的。

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来源： https://www.cnblogs.com/C202044zxy/p/14934710.html