manacher

给定一个字符串，求出以每个位置为中心的最长回文子串。

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流程

• 设 \(mxr\) 为当前所有回文串的最大的右边界，\(mid\) 为对应的中点

• 为了防止中点在两个位置中间，将原串的每两个字符间和开头结尾都塞一个相同的无关字符

• 若 \(i\leq mxr\)，令 \(f_i=\min(f_{2mid-i,mxr-i+1})\)

• 暴力扩展 \(f_i\)

• 更新 \(mxr\) 和 \(mid\)

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正确性

对于一个回文字串来说，一对下标以 \(mid\) 对称的区间一定完全相同。所以在 \(mid\) 左边的一个回文区间对应的右边的一段区间一定也是回文区间。

所以 \(i\) 在这个回文字串内的答案一定不小于它的对应点 \(2mid-i\) 在这个回文子串内的答案。

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复杂度

分析暴力扩展部分的复杂度即可。。

• 若以 \(i\) 为中心的最长回文串的右端点 \(R\) 小于 \(mxr\)，则 \(f_i=f_{2mid-i}\)

• 否则会提供 \(R-mxr\) 的复杂度，并且令 \(mxr=R\)

然后发现复杂度就是把 \(mxr\) 一直往右边挪的次数。

复杂度 \(O(len)\)

标签：2mid,manacher,复杂度,mxr,mid,区间,回文
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