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线性代数总结

作者:互联网

下面是从2020年c班集训学到的线代知识


行列式

定义

由 n 2 n^2 n2 个元素构成的 n n n 阶行列式为
∣ a i j ∣ n |a_{ij}|_n ∣aij​∣n​ = ∣ a 11 . . . a 1 n . . . a n 1 . . . a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11}&...&a_{1n} \\ &...\\ a_{n1}&...&a_{nn} \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣​a11​an1​​.........​a1n​ann​​∣∣∣∣∣∣​


行列式的值
∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 . . . a n j n \sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n} j1​j2​...jn​∑​(−1)r(j1​j2​...jn​)a1j1​​a2j2​​...anjn​​

转置行列式

设 n n n 阶行列式为 D = ∣ a i j ∣ n D=|a_{ij}|_n D=∣aij​∣n​ 则称行列式 D T = ∣ a j i ∣ n D^T=|a_{ji}|_n DT=∣aji​∣n​ 为 D D D 的转置行列式



性质

性质1.

D T = D D^T=D DT=D

证明:
设 D T D^T DT中的元素为 b i j b_{ij} bij​由定义可得 b i j = a j i b_{ij}=a_{ji} bij​=aji​
新的行列式的值为

    ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) b 1 j 1 b 1 j 2 . . . b 1 j n = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a j 1 1 a j 2 2 . . . a j n n \sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}b_{1j_1}b_{1j_2}...b_{1j_n}\\ =\sum\limits_{j_1j_2...j_n} (-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{j_11}a_{j_22}...a_{j_nn} j1​j2​...jn​∑​(−1)r(j1​j2​...jn​)b1j1​​b1j2​​...b1jn​​=j1​j2​...jn​∑​(−1)r(j1​j2​...jn​)aj1​1​aj2​2​...ajn​n​

因为
j 1 j 2 . . . j n j_1j_2...j_n j1​j2​...jn​ 是 1... n 1...n 1...n 的一个排列

所以可以将 ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a j 1 1 a j 2 2 . . . a j n n \sum\limits_{j_1j_2...j_n} (-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{j_11}a_{j_22}...a_{j_nn} j1​j2​...jn​∑​(−1)r(j1​j2​...jn​)aj1​1​aj2​2​...ajn​n​
中的 a j i {a_{ji}} aji​ 将 j i j_i ji​按实际大小从 1 1 1 到 n n n排序
则原先的 1... n 1...n 1...n变为一个排序,答案不变

证毕

性质2.

交换行列式中的任意两行得到 D 1 D_1 D1​ 则 D 1 D_1 D1​= − D -D −D

证明:

设交换的两行为 x , y x,y x,y设在计算时 选取到他们的列为 a , b a,b a,b
则 D = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( x y . . . j n ) a a x a b y . . . a n j n D=\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(xy...j_n)}a_{ax}a_{by}...a_{nj_n} D=j1​j2​...jn​∑​(−1)r(xy...jn​)aax​aby​...anjn​​

交换后变为
(x,y是相对于原位置而言)

D 1 = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( y x . . . j n ) a a y a b x . . . a n j n D_1=\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(yx...j_n)}a_{ay}a_{bx}...a_{nj_n} D1​=j1​j2​...jn​∑​(−1)r(yx...jn​)aay​abx​...anjn​​
(因为x,y行发生交换 所以原先的 a a x = a_{ax}= aax​=现在的 a a y a_{ay} aay​)

所以我们发现 后面的的乘积是不会变化的 只有排列中两个数的位置交换,导致逆序对数发生了变化。

而一个排列中 两个数位置的交换必然导致逆序对个数奇偶性变化

证明:对于 x a . . . . . b y xa.....by xa.....by假设 a , b a,b a,b 之间间隔 m m m 个元素
( x , y x,y x,y作为参考标识使用)

x . . . . . a b y x.....aby x.....aby需要交换 m 个元素

x b . . . . . a y xb.....ay xb.....ay 需要交换 m+1 个元素

相邻两个元素之间交换 逆序对奇偶性必然改变
所以发生(2m+1)次交换 新序列逆序对奇偶性改变
证毕

因此 对于 D 1 D_1 D1​ 每一个 ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) (-1)^{r(j_1j_2...j_n)} (−1)r(j1​j2​...jn​)都与 D D D的 ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) (-1)^{r(j_1j_2...j_n)} (−1)r(j1​j2​...jn​)互为相反数 而 a a a 的乘积对应相等

证得 D 1 D_1 D1​= − D -D −D

证毕

合理外推的话 应该发生奇数次交换 D 1 D_1 D1​= − D -D −D
发生偶数次交换 D 1 D_1 D1​= D D D

性质3.

行列式中的某一行都乘上k 得到的答案是原来的k倍

证明:

D = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( x y . . . j n ) a a x a b y . . . a n j n D=\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(xy...j_n)}a_{ax}a_{by}...a_{nj_n} D=j1​j2​...jn​∑​(−1)r(xy...jn​)aax​aby​...anjn​​

设改变的一行为 c c c 则每次都会选中 c c c 中的一项,乘积变为原来的 k k k倍

证毕

性质4.

对于只有行 a a a 和 D D D不同的行列式 D 1 D_1 D1​

D D D+ D 1 D_1 D1​可以转换为新行列式 D 2 D_2 D2​

设 D , D 1 D,D_1 D,D1​ 中的元素分别为 x , y x,y x,y

该行列式中 除 a a a 行外所有元素与 D ( D 1 ) D(D_1) D(D1​) 中一模一样,而 a a a行里的元素 为 x a i + y a i x_{ai}+y_{ai} xai​+yai​

证明:

由加法结合律可得

    ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 x . . . a n j n + ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 y . . . a n j n = ∑ j 1 j 2 . . . j n ( − 1 ) r ( j 1 j 2 . . . j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ( x + y ) . . . a n j n \sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}x...a_{nj_n}+\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}y...a_{nj_n}\\ =\sum\limits_{j_1j_2...j_n}(-1)^{r(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}(x+y)...a_{nj_n} j1​j2​...jn​∑​(−1)r(j1​j2​...jn​)a1j1​​a2j2​​x...anjn​​+j1​j2​...jn​∑​(−1)r(j1​j2​...jn​)a1j1​​a2j2​​y...anjn​​=j1​j2​...jn​∑​(−1)r(j1​j2​...jn​)a1j1​​a2j2​​(x+y)...anjn​​

证毕

性质5.

对于一个矩阵 D 1 D_1 D1​ ,若该矩阵的两行相同,或其中一行是另一行的倍数,则该矩阵的值是0

证明:

设行 j j j 是行 i i i 的 k k k倍

性质4 可将这个 k 倍提出,变成 k k k 个有 i , j i,j i,j两行相同的矩阵相加。

性质2 交换这两列得到的 D 2 = − D 1 D_2=-D_1 D2​=−D1​
而且 由定义知 D 2 = D 1 D_2=D_1 D2​=D1​(这两行相同,交换前后行列式相同)

得 D 1 = − D 1 D_1=-D_1 D1​=−D1​ 则 D 1 = 0 D_1=0 D1​=0

证毕

性质6.

将行列式中的某一行加上另一行的 k k k 倍,行列式的值不变

性质4 可将变化后的矩形拆成 D 1 = D + D 2 D_1=D+D_2 D1​=D+D2​,其中 D D D是原矩形, D 2 D_2 D2​是有一行是另一行 k k k 倍的矩形

性质5得 D 2 = 0 D_2=0 D2​=0

故 D 1 = D D_1=D D1​=D

证毕


标签:总结,...,j1,j2,jn,线性代数,1j,D1
来源: https://blog.csdn.net/m0_50170681/article/details/118095992