常见基本三角公式

文章目录

• 常见基本三角公式
• • 1 基本公式
  • 2 倍角公式
  • 3 半角公式
  • 4 加法公式
  • 5 和差化积公式
  • 6 积化和差公式
  • 7 万能公式
  • 8 正弦定理
  • 9 余弦定理

常见基本三角公式

1 基本公式

sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1 sin2x+cos2x=1
1 + tan ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x 1+tan2x=sec2x
1 + cot ⁡ 2 x = csc ⁡ 2 x 1+\cot ^{2} x=\csc ^{2} x 1+cot2x=csc2x

2 倍角公式

sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x \sin 2 x=2 \sin x \cos x sin2x=2sinxcosx

cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x − sin ⁡ 2 x = 1 − 2 sin ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ 2 x − 1 \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x=1-2 \sin ^{2} x=2 \cos ^{2} x-1 cos2x=cos2x−sin2x=1−2sin2x=2cos2x−1

tan ⁡ 2 x = 2 tan ⁡ x 1 − tan ⁡ 2 x \tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x} tan2x=1−tan2x2tanx​

sin ⁡ 3 x = 3 sin ⁡ x − 4 sin ⁡ 3 x \sin 3 x=3 \sin x-4 \sin ^{3} x sin3x=3sinx−4sin3x

cos ⁡ 3 x = 4 cos ⁡ 3 x − 3 cos ⁡ x \quad \cos 3 x=4 \cos ^{3} x-3 \cos x cos3x=4cos3x−3cosx

tan ⁡ 3 x = 3 tan ⁡ x − tan ⁡ 3 x 1 − 3 tan ⁡ 2 x \quad \tan 3 x=\frac{3 \tan x-\tan ^{3} x}{1-3 \tan ^{2} x} tan3x=1−3tan2x3tanx−tan3x​

3 半角公式

sin ⁡ 2 x 2 = 1 − cos ⁡ x 2 \sin ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2} sin22x​=21−cosx​

cos ⁡ 2 x 2 = 1 + cos ⁡ x 2 \quad \cos ^{2} \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2} cos22x​=21+cosx​

tan ⁡ x 2 = 1 − cos ⁡ x sin ⁡ x \quad \tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x} tan2x​=sinx1−cosx​

4 加法公式

sin ⁡ ( x ± y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y ± cos ⁡ x sin ⁡ y \sin (x \pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y sin(x±y)=sinxcosy±cosxsiny

cos ⁡ ( x ± y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y ∓ sin ⁡ x sin ⁡ y \cos (x \pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y cos(x±y)=cosxcosy∓sinxsiny

tan ⁡ ( x ± y ) = tan ⁡ x ± tan ⁡ y 1 ∓ tan ⁡ x tan ⁡ y \tan (x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y} tan(x±y)=1∓tanxtanytanx±tany​

5 和差化积公式

正加正，正在前；正减正，余在前；
余加余，余并肩；余减余，余不见，负号很讨厌。

sin ⁡ x + sin ⁡ y = 2 sin ⁡ x + y 2 cos ⁡ x − y 2 \sin x+\sin y=2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} sinx+siny=2sin2x+y​cos2x−y​

sin ⁡ x − sin ⁡ y = 2 cos ⁡ x + y 2 sin ⁡ x − y 2 \sin x-\sin y=2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} sinx−siny=2cos2x+y​sin2x−y​

cos ⁡ x + cos ⁡ y = 2 cos ⁡ x + y 2 cos ⁡ x − y 2 \cos x+\cos y=2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} cosx+cosy=2cos2x+y​cos2x−y​

cos ⁡ x − cos ⁡ y = − 2 sin ⁡ x + y 2 sin ⁡ x − y 2 \cos x-\cos y=-2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} cosx−cosy=−2sin2x+y​sin2x−y​

6 积化和差公式

积化和差得和差，余弦在后要相加，异名相乘取正弦，正弦相乘取负号。

sin ⁡ x cos ⁡ y = 1 2 [ sin ⁡ ( x + y ) + sin ⁡ ( x − y ) ] \sin x \cos y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)+\sin (x-y)] sinxcosy=21​[sin(x+y)+sin(x−y)]

cos ⁡ x sin ⁡ y = 1 2 [ sin ⁡ ( x + y ) − sin ⁡ ( x − y ) ] \cos x \sin y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)-\sin (x-y)] cosxsiny=21​[sin(x+y)−sin(x−y)]

cos ⁡ x cos ⁡ y = 1 2 [ cos ⁡ ( x + y ) + cos ⁡ ( x − y ) ] \cos x \cos y=\frac{1}{2}[\cos (x+y)+\cos (x-y)] cosxcosy=21​[cos(x+y)+cos(x−y)]

sin ⁡ x sin ⁡ y = − 1 2 [ cos ⁡ ( x + y ) − cos ⁡ ( x − y ) ] \sin x \sin y=-\frac{1}{2}[\cos (x+y)-\cos (x-y)] sinxsiny=−21​[cos(x+y)−cos(x−y)]

7 万能公式

可以把所有三角函数都化成只有 tan ⁡ ( x 2 ) \tan(\frac{x}{2}) tan(2x​)的多项式

sin ⁡ x = 2 tan ⁡ x 2 1 + tan ⁡ 2 x 2 \sin x=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} sinx=1+tan22x​2tan2x​​

cos ⁡ x = 1 − tan ⁡ 2 x 2 1 + tan ⁡ 2 x 2 \quad \cos x=\frac{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{x}{2}} cosx=1+tan22x​1−tan22x​​

tan ⁡ x = 2 tan ⁡ x 2 1 − tan ⁡ 2 x 2 \quad \tan x=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{x}{2}} tanx=1−tan22x​2tan2x​​

8 正弦定理

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R， a , b , c a,b,c a,b,c为角 A , B , C A,B,C A,B,C的对边， R R R为三角形 A B C ABC ABC外接圆的半径。

9 余弦定理

a , b , c a,b,c a,b,c为角 A , B , C A,B,C A,B,C的边

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ A a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A a2=b2+c2−2bc⋅cosA

b 2 = c 2 + a 2 − 2 c a ⋅ cos ⁡ B b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cdot \cos B b2=c2+a2−2ca⋅cosB

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ⁡ C c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C c2=a2+b2−2ab⋅cosC

标签：cos,常见,frac,21,公式,三角,tan,sin
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