概率题之黑白球问题

问题

题目：有一个桶，里面有白球、黑球各100个，人们必须按照以下的规则把球取出来：
1、每次从桶里面拿出来两个球；
2、如果是两个同色的球，就再放入一个黑球；
3、如果是两个异色的球，就再放入一个白球；
问：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少？

思路

我开始遇到这道题时是懵逼的，因为用常规的方法比如推导概率公式是很难求解的。合理的思路有两种，下面我来分别介绍一下。

1.找规律
使用D=（黑球变化数,白球变化数）来记录每一轮拿球放球后两类球的变化情况。

情况1.从桶里拿出两个黑球，那么意味着放入一个黑球。因此D=(-1,0)
情况2.从桶里拿出两个白球，那么也意味着放入一个黑球。因此D=(1,-2)
情况3.从桶里拿出一白一黑，那么意味着需要放入一个白球。因此D=(-1,0)

仔细观察上面的各种情况，我们会发现，无论何种情况，每一轮白球要么不变要么少2个，那么我们再回顾一下题目中的信息，白球个数为100个，意味着无论如何都不可能出现最后剩下一个白球的情况，也就是说最后一个生剩下的一定是黑球。即只剩下一个黑球的概率是100%。

2.将该问题考虑成XOR(异或问题）
对于x,y,异或(^)运算有如下结果

如果我们把题目中的黑球看作0，白球看作1。每一轮拿两颗球的过程就可以看作对应数字的异或运算，而每一次放球的过程就可以看作是异或运算的结果。比如拿出两颗黑球，就可以表示为0^0,结果就是0，表示放入一颗黑球。

根据题意，我们的桶中存在100颗黑球以及100颗白球，也就等价于100个0和100个1做异或运算，对于异或运算而言，一个很好的特性就是交换律，即对于给定数量的0，1，无论以何种顺序进行运算，结果都不变。也就保证了题目中的随机取球并不影响最终结果。

因此，对于100颗白球和100颗黑球，无论取球的过程如何，都可以等价为先将100个黑球(0)做异或运算，再去和100个白球(1)做异或运算的结果做异或。

事实上，我们可以总结如下规律：
a.偶数个0做异或运算的结果为0
b.奇数个0做异或运算的结果为0
c.偶数个1做异或运算的结果为0
d.奇数个1做异或运算的结果为1

因此上面问题的结果为0^0=0，也就是最终为黑球。

下面我用python写了段代码来模拟上面的取球放球个数，并统计最后剩余一颗黑球的概率情况。和预期一样，无论实验多少次，最终结果都是剩余一颗黑球。

import random
from tqdm import tqdm
#100个黑球(0)，100个白球(1)
bin_=[0]*100+[1]*100

n=100000
count=0
for i in tqdm(range(n)):
	while len(bin_)>1:
		out=random.sample(bin_,2)
		#拿出两颗球
		bin_.remove(out[0]) 
		bin_.remove(out[1])

		#加入一颗球
		if out[0]==out[1]:
			bin_.append(0)
		else:
			bin_.append(1)
	
	#while循环结束意味着bin_中只剩一颗球
	if bin_[0]==0:
		count+=1

print('最后一颗为黑球的概率为',count/n)

结果如下

参考：《编程之美》的概率题：一个桶里面有白球、黑球各100个，现在按下述规则取球

标签：bin,概率,运算,黑白,异或,问题,黑球,白球,100
来源： https://blog.csdn.net/weixin_44607838/article/details/117932243