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[ABC205E]White and Black Balls

作者:互联网

壹、题目描述 ¶

传送门 to Atcoder.

贰、题解 ¶

觉得这个模型转化有点意思,但是由于不是很想详写,就借用官解的图了。

对于每个点,保证 \(w_i\le b_i+k\),感觉有点像 \(\rm Catalan\) 模型了,目前我所了解到的关于这方面的模型,无一不是满足 \(x_i\le y_i\) 限制的具体体现或者变式,一如这道题。

相似地,将这个题转化到坐标系上,就是这样:

设横坐标是 \(b_i+K\),纵坐标为 \(w_i\),那么就是从 \((0,0)\) 走到 \((M,N)\) 且不超过直线 \(y=x+K\).

无疑,总方案数肯定为 \(M+N\choose N\),但是非法方案数呢?考虑经典的模型,解决方案都是从第一个非法点开始翻转,我们也可以这样做:

非法路径一定会经过 \(y=x+K+1\) 的某个点,我们从这个点开始,将前面的点都翻转,不难发现,每一种非法方案都一定一一对应一种从 \((-K-1,K+1)\) 到 \((M,N)\) 的路径,那么总方案?还用说,就是

\[{M+N\choose N}-{M+N\choose M+K+1} \]

这随便玩。

叁、参考代码(略)

肆,关键的地方 ¶

形如 \(a_i\le b_i\) 或者其变式 \(p\cdot a_i\le q\cdot b_i+K\) 的,似乎都可以归到这个模型上面来?但是限制应该是经过变形之后的 \(a_i\le {q\over p}b_i+{K\over p}\) 的所有系数都应该是整数吧?如果在实数域该怎么玩?

有待思考与补充!

标签:le,cdot,模型,非法,Balls,Black,choose,White,over
来源: https://www.cnblogs.com/Arextre/p/14883370.html