关于线段树的一些魔幻操作[学习笔记] 转自xyz32768

转自：https://blog.csdn.net/xyz32768/article/details/84398038

引入

• 众所周知，线段树可以维护序列，进行区间操作
• 单点加 + 区间求和
• 区间加 + 区间求和
• 区间加 + 区间乘 + 区间求和
• (省略.......)
• 但是有些操作呢，又不能像上面这三个问题一样通过简单的打标记 + 提取区间解决
• 仍需要用到一些\(trick\)

一、势能线段树

• 我们知道，线段树能够通过打标记实现区间修改的条件有两个：
• \(1.\)能够快速处理标记对区间询问结果的影响
• \(2.\)能够快速实现区间的合并
• 但有的区间修改不满足上面的条件
• 但某些修改存在一些奇妙的性质，使得序列每个元素被修改的次数有一个上限
• 可以在线段树每个节点上记录一个值，表示对应区间是否每个元素都达到了修改次数的上限
• 区间修改时暴力递归到递归到叶子节点，如果在这个途中碰到了一个节点，这个节点对应的区间内的每个点都已经达到了修改次数上限，就直接\(return\)掉
• 可以证明时间复杂度为\(O(nlogn)\) * 区间修改次数上限
• 可以举几个简单例子说明一下

①区间开平方，区间求和

• 一个数\(x\)被开平方\(O(loglogx)\)后会变成\(1\)或\(0\),当然是向下取整不考虑小数，继续开根后不变
• 所以线段树节点上用一个变量记录是否区间内全为\(1\)或\(0\)
• 修改递归到叶子的时候，如果达到了区间内全为\(1\)或\(0\)的节点就\(return\)掉
• 复杂度O（nlognlogx）

②区间取模，区间求和

• 一个数\(x\)对\(p\)取模，如果\(x \geq p\)则\(x\)至少变小一半，前置知识
• 此时每个节点维护当前对应区间的和以及区间最小值
• 区间对\(p\)取模时仍然递归到叶子
• 如果某个节点对应的区间最小值小于\(p\)直接\(return\)掉
• 复杂度\(O(nlognlogx)\)

③区间除(向下取整)，区间加，区间求和

• 区间内的数整除\(1\)是无效的，直接跳过即可
• 否则整除一个数会使得区间内最大值与最小值的差至少减少一半
• 维护区间最小值和最大值以及区间和，区间懒标记
• 整除时递归到叶子即可
• 如果某个节点对应的区间\(max/d - max == min/d - min\)，那么就说这个节点对应的区间的内的所有数都相等了，我们就不用暴力往下更新了，直接\(return\)即可，否则的话还是暴力到叶节点。
• 因为区间加减都是一个数的话是不会影响最大值和最小值的差的，所以我们还是最多做log(max-min)次暴力就可以了，后面都是直接算答案\(return\)的
• 时间复杂度\(O(nlog(max-min) + nlogn)\)
• 例题：LOJ#6029 2017雅礼集训

二、李超线段树
利用标记永久化维护区间内的优势线段的数据结构。
具体详情可移步这里

三、线段树维护单调子序列（注意不是必须连续）

• 考虑经典问题
• 给定一个序列，支持单点修改
• 询问给出\([l.r]\)
• 求有多少个\(i∈[l,r]\)满足\(i = l\)或者\([l,i-1]\)内的任何一个数都不大于第\(i\)个数
• 换句话说，求\([l,r]\)内有多少个位置\(i\)是\([l,r]\)内对应的以\(i\)结尾的前缀最大值
• 定义函数\(query(u,x)\)
• 表示当前线段树\(u\)节点对应区间内，有多少个数是\(\geqx\)并且是对应区间内的前缀最大值
• 线段树上维护区间最大值
• 如果\(u\)对应的区间最大值\(< x\) 那么很明显 \(quey(u,x) = 0\)
• 设\(u\)的左右子树分别为\(lc\)和\(rc\)
• 如果\(lc\)的最大值\(< x\)，那么\(queey(u,x) = query(rc,x)\)
• 否则的话，因为左子树肯定是在右子树的前缀里面，所以此时\(query(u,x) = query(lc,x) + query(rc,max_lc)\)
• 其中\(max_lc\)，表示\(lc\)节点对应区间内的最大值
• 注意到\(query(rc,max)\)仅和\(u\)有关的，或者参数不存在变量
• 所以在节点\(u\)上存储一个变量\(ri_u = query(rc,max_lc)\)即可
• 这样就能通过\(O(nlogn)\)的建树之后\(O(logn)\)查询了
• 修改时直接重新计算\(max\)和\(ri\)，\(O(log^2n)\)
• 询问时把区间\([l,r]\)拆成线段树上的\(m\)（不超过\(O(logn)\)）个区间\([l_1,r_1],[l_2,r_2],...,[l_m,r_m]\)
• 设对应的节点分别为\(u_1,u_2,...,u_m\)
• 并设\(pre\)，初始为\(-INF\)
• \(i\)从\(1\)到\(m\)，重复\(m\)次下面的操作
• (1)将\(query(u_i,pre)\)加进询问结果
• (2)如果\(query(u_i,pre) \neq 0\)，则\(pre <- max_{u_i}\)
• 复杂度\(O(log^2n)\)
• 总复杂度\(O(nlog^2n)\)

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