图数据挖掘：基于概率的流行病模型
作者：互联网
1 导引
在上一篇博客《图数据挖掘：网络中的级联行为》中介绍了用基于决策的模型来对级联行为进行建模，该模型是基于效用(Utility)的且是是确定性的，主要关注于单个节点如何根据其邻居的情况来做决策，需要大量和数据相关的先验信息。这篇博客就让我们来介绍基于概率的传播模型，这种模型基于对数据的观测来构建，不过不能对因果性进行建模。
2 基于随机树的流行病模型
接下来我们介绍一种基于随机树的传染病模型，它是分支过程（branching processes）的一种变种。在这种模型中，一个病人可能接触dd个其他人，对他们中的每一个都有概率q>0q>0将其传染，
接下来我们来看当dd和qq取何时，流行病最终会消失（die out），也即满足
limh→∞ph=0limh→∞ph=0
这里phph为在深度hh处存在感染节点的概率（是关于qq和dd的函数）。如果流行病会永远流行下去，则上述极限应该>0>0。
phph满足递归式：
ph=1−(1−q⋅ph−1)dph=1−(1−q⋅ph−1)d
这里(1−q⋅ph−1)d(1−q⋅ph−1)d表示在距离根节点hh深度处没有感染节点的概率。
接下来我们通过对函数
f(x)=1−(1−q⋅x)df(x)=1−(1−q⋅x)d
进行迭代来得到limh→∞phlimh→∞ph。我们从根节点x=1x=1(因为p1=1p1=1)开始，依次迭代得到x1=f(1),x2=f(x1),x3=f(x2)x1=f(1),x2=f(x1),x3=f(x2)。事实上，该迭代最终会收敛到不动点f(x)=xf(x)=x
这里xx是在深度h−1h−1处存在感染节点的概率，f(x)f(x)是在深度为hh处存在感染节点的概率，qq为感染概率，dd为节点的度。
如果我们想要传染病最终消失，那么迭代f(x)f(x)的结果必须要趋向于00，也即不动点需要为0。而这也就意味着f(x)f(x)必须要在y=xy=x下方
如何控制f(x)f(x)必须要在y=xy=x下方呢？我们先来分析下f(x)f(x)的图像形状，我们有以下结论：
f(x)f(x)是单调的：对0≤x,q≤1,d>10≤x,q≤1,d>1，f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1>0f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1>0，故f(x)f(x)是单调的。
f′(x)f′(x)是非增的：f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1f′(x)=q⋅d(1−qx)d−1会着xx减小而减小。
而f(x)f(x)低于y=xy=x，则需要满足
f′(0)=q⋅d<1f′(0)=q⋅d<1综上所述，我们有结论：
limh→∞ph=0 when q⋅d<1limh→∞ph=0 when q⋅d<1
这里R0=q⋅dR0=q⋅d表示每个被感染的个体在期望意义上所产生的新的病体数，我们将其称为基本再生数（reproductive number），它决定了传染病病是否会流行：
- 若R0≥1R0≥1: 流行病永远不会消失且感染人数会以指数速度上升。
- 若R0≤1R0≤1: 流行病会以指数速度快速消失。
3 SIR与SIS流行病模型
3.1 模型范式
在病毒的传播中，有两个最基本的参数：
- 出生率ββ 被已感染邻居攻击的概率
- 死亡率δδ 已感染节点治愈的概率
网络中的节点可以在以下四个状态（S+E+I+R）之间做转移
- 易感期(susceptible)： 节点患病之前，处于容易被邻居传染的时期，也称敏感期。
- 潜伏期(exposed)：节点已被感染，但是还没具备能力去传染别人。
- 传染期(infectious)：节点已被感染，且能够以一定的概率把疾病传染给那些处于易感期的邻居，也称感染期。
- 移除期(removed)：当一个节点经历了完整的传染期，就不再被考虑了，因为它不会再受感染，也不会对其它节点构成威胁，也称隔离期。
其中状态转移的概率由我们前面提到的模型参数ββ和δδ控制。
3.2 SIR模型
在SIR模型中，节点经历S-I-R三个阶段
事实上，该模型可用于对水痘和鼠疫的建模，也即一旦我治愈了，那我就永远不会再被感染了。
假设模型满足完美混
dSdt=−βSIdRdt=δIdIdt=βSI−δIdSdt=−βSIdRdt=δIdIdt=βSI−δI
处于SS、II、RR状态的节点数量随着时间变化曲线如下图所示：
3.3 SIS模型
SIS模型中节点只有S-I两个阶段，它假设已经治愈的节点会立即变为易感节点。节点的状态转移图如下：
这里我们把s=βδs=βδ定义为病毒的“力量”（strength）。
该模型可用于对流感的建模，也即已被感染的节点经过治愈后会重新回到易感状态。