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克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

2021-05-17 16:36:38 作者：互联网

概览

相比于普里姆算法（Prim算法），克鲁斯卡尔算法直接以边为目标去构建最小生成树。从按权值由小到大排好序的边集合{E}中逐个寻找权值最小的边来构建最小生成树，只要构建时，不会形成环路即可保证当边集合{E}中的边都被尝试了过后所形成的树为最小生成树。

定义

假设G=(V, {E})是连通网（即带权连通图），则令最小生成树的初始状态为只有N个顶点而无边的非连通图T=(V, {})，图T中每个顶点自成一个连通分量。在图G的边集{E}中选择权值最小的边e，若e依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将e加入到T中，否则舍去e而选择下一条权值最小的边。以此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

相关概念

连通：在无向图G中，如果从顶点v到v’有路径，则称v和v’是连通的。

连通图：如果对于图G中任意两个顶点v_i、v_j∈E，v_i和v_j都是连通的，则称G是连通图。

过程简述

输入：带权连通图（网）G的边集E及顶点个数。(E已按权值的升序排序。)

初始：T=(V, {})， V是图G的顶点集合且各顶点自成一个连通分量；表示边的集合为空{}。

操作：重复以下操作，直到T中所有顶点都在同一个连通分量上。

依次取E中一条边e（边e必为未尝试过的边中权值最小的边。因为{E}已按权值升序排序）。
将e的两个顶点分别放入T的各连通分量集合V中以测试该顶点是否分别在不同连通分量中。
设存在一个方法/函数Find(V, vertex)，从连通分量集合V的vertex顶点开始沿该连通分量查找，返回以vertex开始的连通分量的最后一个顶点（的下标）。令n=Find(V, e.begin)和m=Find(V, e.end)，若n≠m则e存在于T的不同连通分量中，故将e.end加入到以e.begin开始的连通分量中去。（注：e.begin表示e的开始顶点；e.end表示e的结束顶点；虽然无向图的边不存在开始顶点或结束顶点，但是作为程序表示，也得有两个值来表示边的两个顶点。）（为什么n≠m则两个顶点分别位于不同的连通分量中？若v₁、v₄、v₆位于同一个连通分量，v₃、v₇位于另一个连通分量。那么怎么表示这两个连通分量呢？可以用一个数组来表示！数组的索引本身即是顶点v的下标，而v在数组中对应的存储单元存有构成该连通分量的下一个顶点v’。用一个数组parent表示图T的V。那么parent[1]=4，parent[4]=6，parent[6]=0，0表示该连通图中已无别的顶点；parent[3]=7，parent[7]=0。对于边(1, 6)（或(6, 1)），将1带入parent数组，最终会沿着连通图找到n=6；将6带入parent数组，最终会沿着连通图找到m=6。n=m所以这两个顶点位于相同连通图中。而对于边(4, 7)（或(7, 4)），将4带入parent数组，得到n=6；将7带入parent数组，得到m=7。n≠m所以两个顶点位于不同连通图中。把点v₇所处的连通图放入v₁、v₄、v₆构成的连通图中：parent[6]=7（parent[n]=m）反过来点v₄所处的连通图放入v₃、v₇构成的连通图中，即parent[7]=6也行，只采用两者之一即可。）
直到T中所有顶点都在同一连通分量上为止。（E中的每一条边都尝试一遍即可。）

输出：最小生成树。

如何实现

输入：用Edge类表示边，其中Begin/End/Weight域分别表示边的两个顶点的下标及权重。Edge数组E表示边集，N表示顶点个数。(E已按权值的升序排序。)

初始：用包含N个存储单元的数组parent表示T=(V, {})的 V，即各顶点自成的连通分量。parent数组的下标i即为顶点的下标，i处存放的值parent[i]即为连通分量中下一个顶点的下标，parent[i]=0表示该连通分量已结束。将parent的各存储单元初始化为0。

操作：重复以下操作，直到T中所有顶点都在同一个连通分量上。

依次取E中一条边e。
将e.Begin和e.End带入parent数组，找到连通分量中的最后一个顶点。n=Find(parent, e.Begin)和m=Find(parent, e.end)，若n≠m则e存在于T的不同连通分量中，故将点e.End所处的连通图加入到点e.Begin所处的连通图中去，即parent[n]=m。（反过来parent[m]=n也行。）
直到E中的每一条边都尝试一遍即可。

输出：最小生成树。

如上面的这个图G=(V, {E})，其中V={v₀, v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆, v₇, v₈}，E= {(v₄, v₇, 7), (v₂, v₈, 8), (v₀, v₁, 10), (v₀, v₅, 11), (v₁, v₈, 12), (v₃, v₇, 16), (v₁, v₆, 16), (v₅, v₆, 17), (v₁, v₂, 18), (v₆, v₇, 19), (v₃, v₄, 20), (v₃, v₈, 21), (v₂, v₃, 22), (v₃,v₆, 24), (v₄, v₅, 26)}

用一个边集来表示该图G，得上图右边的数组。

① 输入：带权连通图G=(V, {E})的边集合及顶点数目，求图G的最小生成树。

② 初始：T={V, {}}，用数组parent=int[9]来表示V，parent数组记录的是以索引i表示的顶点开始到parent[i]表示的顶点构成的连通图。例如：（parent数组本身就含有两个信息：索引和索引处的值，vertex数组是不存在的，只是为了辅助理解。）

非连通图头顶点下标vertex：[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ]

非连通图尾顶点下标parent：[ 0, 0, 8, 0, 7, 0, 0, 0, 0 ]

parent[2]=8，parent[8]=0即顶点v₂、v₈构成一个连通分量。

parent[4]=7，parent[7]=0即顶点v₄、v₇构成一个连通分量。

③ 操作：

1.上图中，边(4, 7, 7)权值最小，取该边为e。

2. 此时parent[4]=0，故n=4；parent[7]=0，故m=7；n≠m故parent[4]=7，将{v₄}和{v₇}这两个连通图合并为一个连通图。执行后parent数组如下：

非连通图头顶点下标vertex：[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ]

非连通图尾顶点下标parent：[ 0, 0, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0 ]

解释：parent[2]=0，即v₂自成一个连通图。parent[4]=7，parent[7]=0即v₄所在连通图中还有v₇，v₇接下来没有别的顶点了，即v₄、v₇在同一个连通图中。

3.从E中取下一条边继续上面1、2步骤的操作。

④输出：

演示过程

(4,7) = 7