1. 度量标准

下一次输入为使得效益值加最增大的作业，同时不违反约束条件。
max ⁡ ∑ i ∈ J p i \max \sum_{i\in J}{p_i} maxi∈J∑​pi​

2.SPARKS语言描述

procedure GREEDY_JOB(D, J, n)
	// 作业按 p1 ≥ p2 ≥ … ≥ pn的次序输入，它们的期限值 D(i) ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1。
	// J是在它们的截止期限完成的作业的集合
	J←{1}
	for i←2 to n do 
	if J∪{i}的所有作业能在它们的截止期限前完成 then
		J←J∪{i}
	endif
	repeat
end GREEDY_JOB

3.最优解证明

设最优解集合为I，贪心解集合为J

1. 若I==J，则贪心解就是最优解

2. 若I!=J，则分三种情况：

   2.1 I ⊂ \subset ⊂J

   X 若贪心解包含最优解，则最优解至少还能够添加J中有而I中没有的元素且不违反约束条件，这与它本身就是最优解相矛盾。因此这种情况不可能。

   2.2 J ⊂ \subset ⊂I

   X 若最优解包含贪心解，因为贪心解每次选择总是选择效益值较大且满足约束条件的，故对于I中有而J中没有的元素x，x总应该被J选中才满足贪心算法的规则。因此这种情况不可能。

   2.3 I与J中至少包含一个互不相同的元素

   √排除了2.1、2.2两种情况，最后一种情况只剩I ⊄ \not\subset ​⊂J且J ⊄ \not\subset ​⊂I，即至少存在两个作业a和b，使得a ∈ \in ∈J 且a ∉ \not\in ​∈I，b ∈ \in ∈I 且b ∉ \not\in ​∈J。并设a是这样的一个具有最高效益值的作业，且由算法的处理规则可得：对于在I中而不在J中的所有作业b，有： p a ⩾ p b p_a\geqslant p_b pa​⩾pb​
   证明：将I和J中的所有作业按效益值非递增排序，从左向右依次比较I和J中对应的分量，若相同则继续比较下一个，直至遇到分量不同的情况。设此时两分量为 p a p_a pa​和 p b p_b pb​。这时若 p a < p b p_a<p_b pa​<pb​，则不满足贪心算法的规则。贪心算法在下一次选择时，必定会选择效益值相对较大且不违反约束条件的，若 p a < p b p_a<p_b pa​<pb​，则贪心算法应该选择 p b p_b pb​才对。证毕。

3. 使用贪心解分量替换最优解对应分量
   3.1 首先调整最优解和贪心解中作业的位置，使得新的解仍能够满足约束条件。设i在贪心解中和在最优解中都有这个作业，且在贪心解中[t, t+1]时间段内执行，在最优解中[t', t'+1]时间段内执行。下面分两种情况进行作业对换：
   
   
   3.2 找到Pa在贪心解中的位置，把最优解中对应位置的Pb替换为Pa，则替换后的解不会比原来的解更差，且新的解和原来的最优解相比，减少了1个和贪心解不同的元素。如此往复，知道贪心解完全替换最优解，效益值并没有减小。因此，J也是最优解。

4. 判断解的可行性

给定一个解，判断这个解是否可以满足约束条件。
下面证明：
证明：
左到右：显然成立
右到左：

5. 算法实现

procedure JS(D,J,n,k)

	// D(1),…,D(n)是期限值。n≥1。
	// 作业已按p1 ≥ p2 ≥ … ≥ pn的顺序排序。
	// J(i)是最优解中的第i个作业，1 ≤ i ≤ k。
	// 终止时， D( J(i) ) ≤ D( J(i＋1) )， 1 ≤ i＜k。
	
	integer D(0:n),J(0:n),i,k,n,r
	
	D(0)←J(0)←0 //初始化//
	
	J(1)←1; k←1 //计入作业1//
	
	for i←2 to n do //按p的非增次序考虑作业。找i的位置并检查插入的可行性//
	
		r←k
		
		while D(J(r))＞D(i) and D(J(r)) ≠r do // r之前的期限比i晚 and r之前的期限可以后移1单位期限
			r←r-1
		repeat
		
		if D(J(r)) ≤ D(i) and D(i)＞r then // i的期限比r晚 and i的期限满足约束条件
			for i←k to r+1 by -1 do
			J(i+1) ←J(i) //将插入点的作业后移一位//
			repeat
			J(r+1) ←i;k←k+1
		endif
		
	repeat
	
end JS

标签：约束条件,解中,作业,限期,期限,最优,任务调度,贪心
来源： https://blog.csdn.net/qq_20497995/article/details/116734765