算法面试难题-1-鸡蛋掉落问题

问题描述

方法1——动态规划(超时)

class Solution {
public:
    int superEggDrop(int K, int N) {
        const int INF=0x3f3f3f3f;
        //dp[i][j]:一共有i层楼梯的情况下，使用j个鸡蛋的最少实验的次数
        vector<vector<int>>dp(N+1,vector<int>(K+1,0));

        //初始化
        for(int i=0;i<=N;i++){
            for(int j=0;j<=K;j++){
                dp[i][j]=INF;
            }
        }

        //第0行：楼层为0的时候，不管鸡蛋个数多少，都测试不出鸡蛋的F值，故全为0
        for(int j=0;j<=K;j++){
            dp[0][j]=0;
        }

        //第1行：楼层为1的时候，0个鸡蛋的时候，仍0次，1个以及1个鸡蛋以上只需仍1次
        dp[1][0]=0;
        for(int j=1;j<=K;j++){
            dp[1][j]=1;
        }
        
        //第0列：鸡蛋个数为0的时候，不管楼层为多少，也测试不出鸡蛋的F值，故全为0
        //第1列：鸡蛋个数为1的时候，这是一种极端情况，要测试出F值，最少次数就等于楼层高度
        for(int i=0;i<=N;i++){
            dp[i][0]=0;
            dp[i][1]=i;
        }

        //从第2行，第2列开始填表
        for(int i=2;i<=N;i++){
            for(int j=2;j<=K;j++){
                for(int k=1;k<=i;k++){
                    //碎了，就需要往低层继续扔：层数少1，鸡蛋也少1
                    //不碎，就需要往高楼继续仍：层数是当前层到最高层的距离差，鸡蛋数量不少
                    //两种情况都做了一次尝试，所以加1
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],max(dp[k-1][j-1],dp[i-k][j])+1);
                }
            }
        }

        return dp[N][K];
    }
};

复杂度分析:

• 时间复杂度：O(N²K)，三层for循环，每层循环都是线性的。
• 空间复杂度：O(NK)，表格大小。

方法2——动态规划+二分

这里需要盯着[状态转移方程]使劲看：

	dp[i][j]=min(max(dp[k-1][j-1],dp[i-k][j])+1);

[状态转移方程]里最外层的变量是k，它枚举了扔下鸡蛋的楼层的高度，这里它是自变量，将其余的i和j视为常数：

• dp[k-1][j-1]：根据语义，k增大的时候，楼层大小越大，它的值就越大；
• dp[i-k][j]：根据语义，k增大的时候，楼层大小越小，它的值就越小。

可以得出一个是单调不减的(dp[k-1][j-1]，下面红点)，一个是单调不增的(dp[i-k][j]，下面绿星)，并且它们的值都是整数。
我们使用了一组数据，制作成图标（每次取数据都取最后一行最后一列的那个单元格计算的数据）。
情况1：最低点只有1个点

情况2：最低点是若干个重合的点

情况3：最低点不重合，但是两边的值一样

从图上可以看出：二者的较大值的最小点在它们交汇的地方。那么有没有可能不交汇，当前有可能（上面第3张图），二者较大值的最小者一定出现在画成曲线段交点的两侧，并且二者的差值不会超过1，也就是如果没有重合的点，两边的最大值是一样的（从图上看出来的，没有严格证明），因此取左侧和右侧两点中的一点都可以，不失一般性，可以取左边的那个点的k。
也就是找到使得dp[i-k][j]<=dp[k-i][j-1]最大的那个k值即可。这里使用二分查找算法。关键在于dp[i-k][j]>dp[k-i][j-1]的时候，k一定不少我们要找的，根据这一点写出二分的代码。

class Solution {
public:
    int superEggDrop(int K, int N) {
        const int INF=0x3f3f3f3f;
        //dp[i][j]:一共有i层楼梯的情况下，使用j个鸡蛋的最少实验的次数
        vector<vector<int>>dp(N+1,vector<int>(K+1,0));

        //初始化
        for(int i=0;i<=N;i++){
            for(int j=0;j<=K;j++){
                dp[i][j]=INF;
            }
        }

        //第0行：楼层为0的时候，不管鸡蛋个数多少，都测试不出鸡蛋的F值，故全为0
        for(int j=0;j<=K;j++){
            dp[0][j]=0;
        }

        //第1行：楼层为1的时候，0个鸡蛋的时候，仍0次，1个以及1个鸡蛋以上只需仍1次
        dp[1][0]=0;
        for(int j=1;j<=K;j++){
            dp[1][j]=1;
        }
        
        //第0列：鸡蛋个数为0的时候，不管楼层为多少，也测试不出鸡蛋的F值，故全为0
        //第1列：鸡蛋个数为1的时候，这是一种极端情况，要测试出F值，最少次数就等于楼层高度
        for(int i=0;i<=N;i++){
            dp[i][0]=0;
            dp[i][1]=i;
        }

        //从第2行，第2列开始填表
        for(int i=2;i<=N;i++){
            for(int j=2;j<=K;j++){
                //在区间[1,i]里确定一个最优值
                int left=1;
                int right=i;
                while(left<right){
                    //找dp[k-1][j-1]<=dp[i-mid][j]的最大值k
                    int mid=left+(right-left+1)/2;
                    
                    int breadCount=dp[mid-1][j-1];
                    int noBreakCount=dp[i-mid][j];
                    if(breadCount>noBreakCount){
                        //严格大于的时候一定不是解，此时mid一定不是解
                        //下一轮搜索区间是[left,mid-1]
                        right=mid-1;
                    }else {
                        //这个区间一定是上一个区间的反面，即[mid,right]
                        //注意这个时候取中间数要上取整，int mid=left+(right-left+1)/2;
                        left=mid;
                    }
                }
                //left这个下标就是最优的k值，把它代入转移方程
                dp[i][j]=max(dp[left-1][j-1],dp[i-left][j])+1;
            }
        }

        return dp[N][K];
    }
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(NK \log N)O(NKlogN)，其中一层循环变成二分查找，复杂度成为对数；
• 空间复杂度：O(NK)O(NK)，表格的大小。

标签：掉落,int,鸡蛋,面试,算法,楼层,复杂度,dp,left
来源： https://blog.csdn.net/qq_41476257/article/details/114399340