算法基础期末考点总结五——递归方程求时间复杂度

这里有三种方法可以从递归方程得到算法的时间复杂度：
代入法
递归树
主方法

代入法

先知道结果，然后想办法证明结果是对的，这就是代入法。
但是有两点需要注意：
1.证明的时候，要严格按照渐近符号的定义证明；
2.递归式左边后面的n项如果不是n的幂方项式，想办法把他替换成幂方形式会更简单
关于第一点，我们遇到待证明的项多出来一部分的时候，可以从假设里减，使得证明成立，如下：（这确实给了我很大的启发）

关于代入法，有一道这个知识点最难的题，只要你看懂了，就掌握了。


有取上整或者取下整的时候，需要放缩，常常会出现n-1，n+1，所以需要想办法变成n，并且时刻记住，最后的结果里有个系数c，可以让我控制，使得结果偏小（或偏大，取决于你证明的渐近记号是哪一个）。

递归树

递归树法大概能分成两种情况。
第一种：形如：

向下取整，树是对称的，这是这类的特点。

第二种：形如：

树不是对称的，这是这类型的特点。

在证明上界的时候，我们采用（在本例中）log3/2（n)的树高；证明下界的时候，我们采用log3（n)的树高。

主方法

这是一个公式性质的东西，它来自于一个定理——主定理。


要注意的有两点：
1.n^Σ比lgn高阶
2.主方法处理的递归式的形式为：

但不意味着长这样的它都能处理，它的情况1，2，3之间都有间隙，而情况三更是有不满足的情况。
1-2间隙：

2-3间隙：

不满足3正则条件的：

有了主方法，天下在我爪。

标签：期末考,递归,间隙,树高,复杂度,代入,证明,方法
来源： https://blog.csdn.net/weixin_43416013/article/details/112623614