trivial分治算法

按时间分治：

1. CDQ分治
   解决大多可以归化为$k$k维偏序问题的离线算法。
   $K$K维偏序问题的$bitset$bitset解法：
   
   [已完成]例题1：CF 70 D ，支持动态加点的凸包问题，可以使用CDQ分治变成离线.
   [已完成]例题2：CF 848C， 设一段区间的价值为区间内每个出现过的数，最后一次出现的位置-第一次出现的位置之和。要求支持单点修改和区间查询。
   解法：把每个 ai 看作二元组 $(i,prev_{a_i})$(i,prevai​​)，则 $a_i$ai​ 在区间内的贡献为 $\sum_{l≤i,prev_{a_i}≤r}i−prev_{a_i}$∑l≤i,prevai​​≤r​i−prevai​​，中间的部分均消去，剩余的贡献恰为题目所求。因此，时间、$i$i、$prev_{a_i}$prevai​​ 组成了三维数点问题的三个维度，套用 CDQ 分治解决。
   例题3：【UOJ#50】【UR #3】链式反应（分治FFT，动态规划）
2. 线段树分治
   动态图连通性.
   对每个物品求不包含它的01背包.
   [已完成]【HNOI】城市建设：支持修改边权，求 MST 边权和.
   对于一段时间区间 [l,r]，我们把这段区间中修改到的边称为 待修边，其余的边称为 固定边。
   设 $solve(l,r,V,E)$solve(l,r,V,E) 表示当前分治的时间区间为 $(l,r)$(l,r)，缩点后的连通块集合为 $V$V，不确定是否会出现在 MST 中的固定边集合为$E$E。初始 $V={1,2,…,n}，E=\empty$V=1,2,…,n，E=∅。
   在我们递归到某个儿子前，只在当前节点的另一个儿子中修改的待修边会变为固定边，将它们加入 $E$E。
   对于剩余的待修边，用它们尽可能的连接 $V$V 中的连通块；此时若存在两点 $(u,v)$(u,v) 尚未连通，那么，任何待修边都不可能使它们联通，可以直接用 E 中的边将这些连通块连起来，并缩点至任意两点可以通过待修边相连。
   由于待修边最多有 $O(r−l)$O(r−l) 条，此时的 $V$V 大小也是 $O(r−l)$O(r−l) 的。
   对于剩余的 $E$E 中的边，按权值排序后，用它们尽可能的连接 $V$V 中的连通块；此时若存在一条边的端点已经连通，则无论待修边的权值如何，这条边都不可能在 MST 中，可以直接从 $E$E 中删除。
   由于此时 V 大小已经为 $O(r−l)$O(r−l)，$E$E 中剩余的边最多保留一棵生成树，因此此后 4E$ 的大小也是 $O(r−l)$O(r−l)。
   我们发现，递归到任何一个节点时，耗费的时间都是 $O(r−l)$O(r−l) 级别的，因此总复杂度为 $O(nlog^2n)$O(nlog2n)
3. 二进制分组
   动态凸包，强制在线.
   [已完成]$UOJ\ 191\ Unknown$UOJ 191 Unknown
4. 整体二分
   [已完成]【LG1527】[国家集训队]矩阵乘法
   CF 102354 B
   调和级数枚举约数+整体二分+莫比乌斯反演。
5. 带权⼆分/决策单调性
   设 $a<b<c<d$a<b<c<d 如果 $w(a,c)+w(b,d)$w(a,c)+w(b,d) 比 $w(a,d)+w(b,c)$w(a,d)+w(b,c) “不会更劣”，就称此类 dp 满足四边形不等式。满足四边形不等式的 $dp$dp 均具有决策单调性。（充分，但不必要）
   [已完成]CF 321E 有一个沿主对角线对称的非负方阵，把它的主对角线分成 k 块，每块的权值是对应子方阵的和。求最小代价。
   由于方阵非负，决策单调性显然。
   用分治处理决策单调性的方法可以做到$O(nk\log n)$O(nklogn)
   NOI 2009 诗人小G.
   CF 868F 将一个数列分成k段，每段的代价是相同的数字的对数。 求代价总和最⼩。
   给一个凸包，选 k 个点使得围成的面积最大。
   考虑枚举起点，可以带权二分+决策单调性 $O(nlogwlogn)$O(nlogwlogn)求出确定起点的答案，期望随机 $\frac n k$kn​ 次就可以得到最优答案。

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标签：连通,分治,CF,修边,算法,EEE,prevai,trivial
来源： https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/104148908