欧几里得算法和扩展欧几里得算法

概述

本篇简要介绍欧几里得算法和扩展欧几里得算法

欧几里得算法

欧几里得算法就是辗转相除法，用于求两个数的最大公约数

欧几里得算法：

public static int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

欧几里得算法的证明：

前提：设gcd(a,b) 是 自然数 a 和 b 的最大公约数，a 除以 b 得到的商和余数分别为 p 和 q

即： a = b * p + q （1）

若a能被b整除，b就叫做a的约数，即b可以整除a

由上式可以看出 gcd(b,q) 可以整除a，也可以整除b 【a,b 都可以被gcd(b,q) 整除】，也就是说

即：gcd(b,q) 可以整除gcd(a,b)

根据q = a - b*q 同理可证 gcd(a,b) 可以整除 gcd(b,q)

可以知道 gcd(a,b) == gcd(b,q) == gcd(b,a%b)

因为 a%b一直在减小，最后就会化为 gcd(c,0) 0和c的最大公约数是c 求得结果为c

扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是对欧几里得算法的扩展，用于求解二元一次方程的整数解

扩展欧几里得算法的实现主要归咎于 裴蜀定理

前提：a，b为整数，且gcd(a,b) = d，那么对于任何整数 x，y

那么： ax+by 一定是d的倍数

个人理解：若两个整数有最大公约数d，那么ax+by = d一定有解

那么应该如何 根据裴蜀定理得到 二元一次方程的解？

​ 这里我们通过一组特解得到其他解

1. 当 a%b == 0时

   因为gcd(a,b) == d,则 a == d

   这时令x1 = 1，y1 = 0,可以证明 ax1+by1 = d

2. 当 a%b ！=0时

   b * x2+(a%b) *y2=gcd(b,a%b)

   由 欧几里得定理 gcd(a,b) == gcd(b,a%b) 可得

   b * x2+(a%b) *y2 == a * x1+b * y1

   又带入 a % b = a - b(a/b) 可得

   a * x1 + b * y1 = a * y2 + b (x2 - (a/b) * y2)

   即：

   x1 = y2 y1 = x2-(a/b) * y2 (x2,y2是特解)

这里得到了解的关系，接下来通过 1 的特解，就可以求得其他解：

static long d,x,y
public static void exgcd(long a, long b, long x, long y)
{
    if(b == 0) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else
    {
        exgcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

注：方程 ax + by = 1 有解 当且仅当 整数a和b互素（gcd（a，b）= 1）

无解情况：

对于ax+by = d，d不是gcd(a,b)的倍数

ax + by = d求得的解的大小

|x| <= b且 |y| <= a

扩展欧几里得算法应用

• 求解不定方程 (ax+by=c 给出整数abc，求出xy整数解)
• 求解模线性方程（线性同余方程）
• 求解模的逆元

线性同余方程

给定整数a，b，m，求一个整数满足：a*x≡b（mod m）

a * x≡b（mod m）可以说明a*x-b始终是m的倍数，即a *x - b= -y *m => a * x + m * y = b

利用扩展欧几里得算法求得x和y使得 a * x + m * y = gcd(a,m)后，把x放大 b/gcd(a,m) 倍即可求出未知数x

int x1 = exgcd(a,m,d,x,y);
x = x*b/d;

模的逆元

b' b≡1(modn)

若 a 与 p 互素，则满足 ( a * x ) % p = 1的 x为 a的逆元。

构造得（k * p + 1）% p = 1(k为任意常数) ，联立 （a * x) % p = 1 可以求得a的逆元

可得扩展欧几里得形式：a * x + k * p = 1

exgcd(a, b,x, y);
x = (x % b + b) % b; //防止x%b出现负数

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标签：a%,gcd,欧几里得,扩展,算法,整除,y2
来源： https://www.cnblogs.com/ioname/p/16606899.html