Dijkstra算法详解（完美图解、趣学算法）
作者：互联网
摘自：https://blog.csdn.net/qq_45776662/article/details/107177424
Dijkstra算法详解
Dijkstra算法设计
Dijkstra算法简介
Dijkstra算法是解决**单源最短路径**问题的**贪心算法**
它先求出长度最短的一条路径，再参照该最短路径求出长度次短的一条路径
直到求出从源点到其他各个顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想
首先假定源点为u，顶点集合V被划分为两部分：集合 S 和 V-S。 初始时S中仅含有源点u，其中S中的顶点到源点的最短路径已经确定。 集合S 和V-S中所包含的顶点到源点的最短路径的长度待定，称从源点出发只经过S中的点到达V-S中的点的路径为特殊路径， 并用dist[]记录当前每个顶点对应的最短特殊路径长度。
Dijkstra贪心策略
选择特殊路径长度最短的路径，将其连接的V-S中的顶点加入到集合S中，同时更新数组dist[]。一旦S包含了所有顶点，dist[]就是从源到所有其他顶点的最短路径长度。
（1）数据结构。 设置地图的带权邻接矩阵为map[][]，即如果从源点u到顶点i有边，就令map[u][i]=<u,i>的权值，否则map[u][i]=∞；
采用一维数组dist[i]来记录从源点到i顶点的最短路径长度：采用一维数组p[i]来记录最短路径上i顶点的前驱。
（2）初始化。令集合S={u}，对于集合V-S中的所有顶点x，初始化dist[i]=map[u][i],如果源点u到顶点i有边相连，初始化p[i]=u(i的前驱是u),否则p[i]=-1
（3）找最小。在集合V-S中依照贪心策略来寻找使得dist[j]具有最小值的顶点t,即dist[t]=min，则顶点t就是集合V-S中距离源点u最近的顶点。
（4）加入S战队。将顶点t加入集合S，同时更新V-S
（5）判结束。如果集合V-S为空，算法结束，否则转6
（6）借东风。在（3）中已近找到了源点到t的最短路径，那么对集合V-S中所有与顶点t相邻的顶点j，都可以借助t走捷径。
如果dist[j]>dist[t]+map[t][j],则dist[j]=dist[t]+map[t][j]，记录顶点j的前驱为t，p[j]=t，转（3）。
//我自己在这里理解就是，从u找到与它最近的点t，在从t找到与它最近的点j，在....按照这样持续下去，直到最后一个点
这里我再通俗的解释下这个借东风的意思。
源点为1，如果我们找到了距离源点最近的点2，且点2与3,4相连。
这样，我们如果要倒3,4有两种方法：
1->2->3(4)
1->3(4)
这里我们就要判断是从1直接到3(4)快，还是经过2后快。假设<1,2>=2 / <2,3>=3 / <1,3>=4
根据上面的数据，我们第一次找最小找到的是2结点，如果我们直接把2替换掉1当做源点继续找下一个最近的点，这种方法是错的。
因为可以看出1->3只用4，而过2的话要用5。
完美图解
这里我就直接放图片了，书里的图不好画。但主要的是自己按照其流程过一遍，在草稿纸上自己画一遍，本书的网盘地址在文章末。
伪代码详解
跟着图解大致了解了一遍接下来就要上代码了，放心，代码不是一个完整的几十行的代码，全部按步骤划分好了的，这里方便大家粘贴。
/*
(1)数据结构
n:城市顶点个数. m:城市间路线的条数. map[][]:地图对应的带权邻接矩阵. dist[]:记录源点u到某顶点的最短路径长度。
p[]:记录源点到某顶点的最短路径上的该顶点的前一个顶点(前驱).flag[]：flag[i]=true说明顶点i已加入到集合S，否则该顶点属于集合V-S
*/
const int N=100;//初始化城市个数，可修改
const int INF=1e7; //无穷大
int map[N][N],dist[N],p[N],n,m;
bool flag[N];
//(2)初始化源点u到其他各个顶点的最短路径长度，初始化源点u出边邻接点的前驱为u
bool flag[n];//如果flag[i]=true,说明该顶点i已经加入到集合S；否则i属于集合V-S
for(int i=1;i<=n;i++){
dist[i]=map[u][i]; //初始化源点u到其他各个顶点的最短路径长度
flag[i]=false;
if(dist[i]==INF)
p[i]=-1; //说明源点u到顶点i无边相连，设置p[i]=-1
else
p[i]=u; //说明源点u到顶点i有边相连，设置p[i]=u
}
//(3)初始化集合S，令集合S={u},从源点u的最短路径为0
flag[u]=true;//初始化集合S中，只有一个元素：源点u
dist[u]=0; //初始化源点u的最短路径为0，自己到自己的最短路径
//(4)找最小.在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t,若找不到，则跳出循环;否则，将t加入集合S。
int temp=INF,t=u;
for(int j=1;j<=n;j++){//在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t
if(!flag[j] && dist[j]<temp){
t=j; //记录距离源点u最近的顶点
temp=dist[j];
}
}
if(t==u) return ; //找不到t跳出循环
flag[t]=true; //否则，将t加入集合S
//(5)借东风。考察集合V-S中源点u到t的邻接点j的距离，如果源点u经过t到达j的路径更短，
// 则更新dist[j]=dist[t]+map[t][j],即松弛操作，并记录j的前驱为t;
for(int j=1;j<=n;j++){//更新集合V-S中与t邻接的顶点到u的距离
if(!flag[j] && map[t][j]<INF){//！flag[j]表示j在v-s集合中，map[t][j]<INF表示t与j邻接
if(dist[j]>(dist[t]+map[t][j])){//经过t到达j的路径更短
dist[j]=dist[t]+map[t][j];
p[j]=t; //记录j的前驱为t
}
}
}
//重复(4)~(5),知道源点u到所有顶点的最短路径被找到
完整代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100; //城市个数可修改
const int INF=1e7; //初始化无穷大为.......
int map[N][N],dist[N],p[N],n,m; //n为城市个数，m为城市间路线的条数
bool flag[N]; //如果flag[i]=true,说明该顶点i已经加入到集合S；否则i属于集合V-S
void Dijkstra(int u){
for(int i=1;i<=n;i++){//********>>>--1--<<<******//
dist[i]=map[u][i]; //初始化源点u到其他各个顶点的最短路径长度
flag[i]=false;
if(dist[i]==INF)
p[i]=-1; //说明源点u到顶点i无边相连，设置p[i]=-1
else
p[i]=u; //说明源点u到顶点i有边相连，设置p[i]=u
}
flag[u]=true;//初始化集合S中，只有一个元素：源点u
dist[u]=0; //初始化源点u的最短路径为0，自己到自己的最短路径
for(int i=1;i<=n;i++){//********>>>--2--<<<******//
int temp=INF,t=u;
for(int j=1;j<=n;j++){//>>--3--<<在集合V-S中寻找距离源点u最近的顶点t
if(!flag[j] && dist[j]<temp){
t=j; //记录距离源点u最近的顶点
temp=dist[j];
}
}
if(t==u) return ; //找不到t跳出循环
flag[t]=true; //否则，将t加入集合S
for(int j=1;j<=n;j++){//>>--4--<<更新集合V-S中与t邻接的顶点到u的距离
if(!flag[j] && map[t][j]<INF){//！flag[j]表示j在v-s集合中，map[t][j]<INF表示t与j邻接
if(dist[j]>(dist[t]+map[t][j])){//经过t到达j的路径更短
dist[j]=dist[t]+map[t][j];
p[j]=t; //记录j的前驱为t
}
}
}
}
}
int main(){
int u, v, w, st;
system("color 0d");
cout << "请输入城市的个数：" << endl;
cin >> n;
cout << "请输入城市之间的路线个数" << endl;
cin >> m;
cout << "请输入城市之间的路线以及距离" << endl;
for(int i=1;i<=n;i++)//初始化图的邻接矩阵
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
map[i][j] = INF;//初始化邻接矩阵为无穷大
}
while (m--)
{
cin >> u >> v >> w;
map[u][v] = min(map[u][v], w); //邻接矩阵存储，保留最小的距离
}
cout << "请输入小明所在的位置：" << endl;
cin >> st;
Dijkstra(st);
cout << "小明所在的位置：" << st << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << "小明：" << st << " - " << "要去的位置：" << i << endl;
if (dist[i] == INF)
cout << "sorry,无路可达" << endl;
else
cout << "最短距离为：" << dist[i] << endl;
}
return 0;
}
输入 请输入城市的个数： 5 请输入城市之间的路线个数 11 请输入城市之间的路线以及距离 1 5 2 5 1 8 1 2 16 2 1 29 5 2 32 2 4 13 4 2 27 1 3 15 3 1 21 3 4 7 4 3 19 请输入小明所在的位置： 5 输出 小明所在的位置：5 小明：5 - 要去的位置：1 最短距离为：8 小明：5 - 要去的位置：2 最短距离为：24 小明：5 - 要去的位置：3 最短距离为：23 小明：5 - 要去的位置：4 最短距离为：30 小明：5 - 要去的位置：5 最短距离为：0
因为我们在程序中使用了p[]数组记录了最短路径上每一个结点的前驱，所以我们可以增加一段程序逆向该最短路径上的城市序列。
void findpath(int u)
{
int x;
stack<int>s;
cout << "源点为：" << u << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
x = p[i];
while (x != -1)
{
s.push(x);
x = p[x];
}
cout << "源点到其他各顶点的最短路径为：";
while (!s.empty())
{
cout << s.top() << "--";
s.pop();
}
cout << i << ";最短距离为：" << dist[i] << endl;
}
}
只需要在主函数末尾调用即可
结果为：
源点为：5
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1;最短距离为：8
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1--2;最短距离为：24
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1--3;最短距离为：23
源点到其他各顶点的最短路径为：5--1--3--4;最短距离为：30
源点到其他各顶点的最短路径为：5;最短距离为：0
算法解析及优化拓展
使用优先队列的完整代码
#include<queue>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100;//城市的个数可修改
const int INF = 1e7;//初始化无穷大为10000000
int map[N][N], dist[N], p[N], n, m;//n为城市的个数，m为城市间路线的条数
int flag[N]; // 如果flag[i]==true,说明顶点i已经加入到集合S；否则顶点i属于集合V-S
struct Node {
int u, step;
Node() {};
Node(int a, int sp)
{
u = a, step = sp;
}
bool operator<(const Node& a)const {//重载 <
return step > a.step;
}
};
void Dijkstra(int st)
{
priority_queue<Node>Q;//优先队列优化
Q.push(Node(st, 0));
memset(flag, 0, sizeof(flag));//初始化flag数组为0
for (int i = 1; i <= n; ++i)
dist[i] = INF;//初始化所有距离为无穷大
dist[st] = 0;
while (!Q.empty())
{
Node it = Q.top();//优先队列列头元素为最小值
Q.pop();
int t = it.u;
if (flag[t])//说明已经找到了最短距离，该节点是队列里面的重复元素
continue;
flag[t] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if(!flag[i] && map[t][i]<INF)//判断与当前点有关系的点，并且自己不能到自己
if (dist[i] > dist[t] + map[t][i])
{
//求距离当前点的每个点的最短距离，进行松弛操作
dist[i] = dist[t] + map[t][i];
Q.push(Node(i, dist[i]));//把更新后的最短距离压入队列中，注意：里面有重复元素
}
}
}
}
int main()
{
int u, v, w, st;
system("color 0d");
cout << "请输入城市的个数：" << endl;
cin >> n;
cout << "请输入城市之间的路线个数" << endl;
cin >> m;
cout << "请输入城市之间的路线以及距离" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)//初始化图的邻接矩阵
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
map[i][j] = INF;//初始化邻接矩阵为无穷大
}
while (m--)
{
cin >> u >> v >> w;
map[u][v] = min(map[u][v], w); //邻接矩阵存储，保留最小的距离
}
cout << "请输入小明所在的位置：" << endl;
cin >> st;
Dijkstra(st);
cout << "小明所在的位置：" << st << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cout << "小明：" << st << " ---> " << "要去的位置：" << i;
if (dist[i] == INF)
cout << "sorry,无路可达" << endl;
else
cout << " 最短距离为：" << dist[i] << endl;
}
return 0;
}
/*
请输入城市的个数：
5
请输入城市之间的路线个数
11
请输入城市之间的路线以及距离
1 5 2
5 1 8
1 2 16
2 1 29
5 2 32
2 4 13
4 2 27
1 3 15
3 1 21
3 4 7
4 3 19
请输入小明所在的位置：
5
小明所在的位置：5
小明：5 ---> 要去的位置：1 最短距离为：8
小明：5 ---> 要去的位置：2 最短距离为：24
小明：5 ---> 要去的位置：3 最短距离为：23
小明：5 ---> 要去的位置：4 最短距离为：30
小明：5 ---> 要去的位置：5 最短距离为：0
*/
相关题的题解
最小花费2020/7/8
写在最后的话
到这里文章就结束了，花了2个小时写的文字qwq,不过把这篇文章弄懂了也不能说掌握了Dijkstra算法，
它还有很多的变形，也有很多同类，如Floyd,Prime...
我将会在后期找几篇Dijkstra的题目并附上详细题解，这里的题解将会是基于这篇文章的代码来的
我会在题解中详细标明哪些地方改动了，毕竟我2个月前学这个的时候就是因为版本太多了，还么理解透就接触
这么多版本真的学不下去。
我准备在暑期发表一些难的算法详细讲解的文章，有 Dijkstra,Floyd,并查集,动态规划,Prime,SPFA,树的相关问题。
对了，差点忘了趣学算法这本书的链接：
链接：https://pan.baidu.com/s/1Dg2zr-aggpJbT_ER22lVsg
提取码：35j9
大家也可以查看我的个人博客 http://121.5.100.85:10001/
没发在CSDN里，也是因为有些内容是借鉴的，以防增加百度搜索中的水文、重复文章，真的太烦了。。。。。
标签：map,dist,int,源点,算法,趣学,Dijkstra,顶点 来源： https://www.cnblogs.com/LiuYanYGZ/p/16318774.html