算法刷题【洛谷P1593】因子和（附等比数列求和公式推导）
作者：互联网
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洛谷 P1593 因子和
题目描述
输入两个整数 a a a 和 b b b，求 a b a^b ab 的因子和。
由于结果太大，只要输出它对 9901 9901 9901 取模的结果。
输入格式
仅一行，为两个整数 a a a 和 b b b。
输出格式
输出一行一个整数表示答案对 9901 9901 9901 取模的结果。
输入输出样例
In 1：
2 3
Out 1：
15
数据范围
对于全部的测试点，保证 1 ≤ a ≤ 5 × 1 0 7 1 \leq a \leq 5 \times 10^7 1≤a≤5×107， 0 ≤ b ≤ 5 × 1 0 7 0 \leq b \leq 5 \times 10^7 0≤b≤5×107。
题解
为了完成洛谷P1593这道题也是拼了……用到了三个不会的知识：因子和公式和等比数列求和公式和费马小定理求分数
这里另摆一份很好的题解：洛谷 [P1593 因子和] {快速幂+费马小定理求逆元+求解质因子} 奋斗的珂珂~ - 代码先锋网
先摆出因子和公式的参考资料：
等比数列定义很简单，设有数列 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] [a_1, a_2,...,a_n] [a1,a2,...,an] ，存在一个定值 q q q 使得任意 1 ≤ i ≤ n − 1 1 ≤ i ≤ n-1 1≤i≤n−1 都有 a i + 1 = a i × q a_{i+1} = a_i \times q ai+1=ai×q 。由此定义可知 a n = a 1 × q n − 1 a_n = a_1 \times q^{n-1} an=a1×qn−1 。
这个数列的求和公式为 S n = a 1 + a 2 + . . . + a n = a 1 × 1 − q n 1 − q S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1 \times \frac{1-q^n}{1-q} Sn=a1+a2+...+an=a1×1−q1−qn ，下面我们来证明这个公式：
∵ q S n = q a 1 + q a 2 + . . . + q a n = a 2 + a 3 + . . . + a n + 1 ∵ qS_n = qa_1 + qa_2 + ... + qa_n = a_2 + a_3 + ... + a_{n+1} ∵qSn=qa1+qa2+...+qan=a2+a3+...+an+1
∴ S n − q S n = ( 1 − q ) S n = a 1 − a n + 1 = a 1 − ( a 1 ∗ q n ) = a 1 ( 1 − q n ) ∴ S_n - qS_n = (1-q) S_n = a_1 - a_{n+1} = a_1 - (a_1 * q^n) = a_1(1-q^n) ∴Sn−qSn=(1−q)Sn=a1−an+1=a1−(a1∗qn)=a1(1−qn)
∴ S n = a 1 1 − q n 1 − q ∴ S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q} ∴Sn=a11−q1−qn
（参考资料：等比数列公式及推导_高三网）
费马小定理求分数快速幂的公式及证明：
（来源：分数取模(费马小定理)_give it a try-CSDN博客_分数取模运算）
标签：...,洛谷,9901,公式,P1593,times,a1,qn,刷题 来源： https://blog.csdn.net/weixin_44495599/article/details/122755771