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DTW 笔记: Dynamic Time Warping 动态时间规整 (&DTW的python实现)

作者:互联网

0 总述

         DTW可以计算两个时间序列的相似度,尤其适用于不同长度、不同节奏的时间序列(比如不同的人读同一个词的音频序列)

        DTW将自动扭曲(warping)时间序列(即在时间轴上进行局部的缩放),使得两个序列的形态尽可能的一致,得到最大可能的相似度。

        DTW采用了动态规划的方法来进行时间规整的计算

1 欧几里得距离的局限性

        描述两个序列之间的相似性,欧氏距离是一种十分简单且直观的方法,但对于序列之间步调不统一的情况,计算欧氏距离得到的结果会比实际的最小距离大很多,比如下面两个几乎一样的序列:

        

·

        左边是欧氏距离的对应关系,在同一时刻上的点相互对应,计算总距离;右边是DTW的点对应关系。

        可以看到,下面序列某时刻的点可以对应上面序列非同一时刻的点;同时一个点可以对应多个点;多个点也可以对应一个点,也就是说每个点尽可能找离它距离最小的点,允许时间轴上的伸缩。

        显而易见的,这种情况下DTW计算的距离比欧氏距离更小。因此对于时间上有拉伸或压缩的序列,使用DTW计算的序列距离更加合理

        该算法在语音序列匹配中使用十分广泛。

2  DTW 算法

        假设我们有两个时间序列Q和C,他们的长度分别是n和m(n和m不一定相等),我们记为:

        

        现在我们需要将两个序列对齐,DTW采用动态规划的方法进行对齐。

        为了对齐这两个序列,我们需要构造一个n*m的矩阵网络,矩阵元素(i,j)表示q_ic_j两个点之间的距离d(q_i,c_j) 

        【不同的应用问题中,会有不同的d】

        【一般采用欧氏距离,d(q_i,c_j)=(q_i-c_j)^2

        【在有些问题中,这个距离又被称作失真度】

        DTW算法旨在寻找一条通过此网络中若干个点的一条路径,路径中的经过的点即为两个序列之间进行计算所需要的对齐的点

         但是,这条路径并不是随意选择的,它需要满足几个约束条件:

  • 边界条件【w_1=(1,1)w_k=(m,n)】,首尾需要对齐
  • 连续性+单调性【如果w_{k-1}=(a',b'),那么对于路径上的下一个点w_k=(a,b),需要满足0 \le (a-a') \le 10 \le b-b') \le 1】【也就是路径只能连接正上方、正右方、右上方三个相邻点钟的一个】【a' \le a \le a'+1 , b' \le b \le b'+1】——>保证两个要比较的序列Q和C中的每一个坐标都会在W中出现

         我们的目的是最小化路径上的值,即

        DTW(Q,C)=min(\frac{\sqrt{\sum_{k=1}^Kw_k}}{K}) 【有时候也没有这个K)

        分母中的K主要是用来对不同的长度的规整路径做补偿。因为不同的路径其长短不同,较长的路径有较多的“点对”,会有较多的距离累加上去,所以总距离除以K得到单位路径的距离。

3 DTW 举例

比如我们有两个序列

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

a=np.array([1,3,2,4,2])
b=np.array([0,3,4,2,2])

plt.plot(a)
plt.plot(b)

他们之间的欧氏距离为 

np.sqrt(np.sum((a-b)*(a-b))
#3

使用DTW的话,先要计算两个序列之间的欧氏距离

a-b03422
112311
330111
221200
441022
221200

使用动态规划的话,就需要有这样的状态转移方程: 

其中d(i,j)就是第(i,j)个条目里面的内容,也就是ai和bj之间的欧几里得距离

a-b03422
1

1

dp(0,0)

=d(0,0)

=1

2

dp(0,1)

=dp(0,0)+d(0,1)

=1+2=3

3

dp(0,2)

=dp(0,1)+d(0,2)

=3+3=6

1

dp(0,3)

=dp(0,2)+d(0,3)

=6+1=7

1

dp(0,4)

=dp(0,3)+d(0,4)

=7+1=8

3

3

dp(1,0)

=dp(0,0)+d(1,0)

=1+3=4

0

dp(1,1)

=min(dp(0,0)

        ,dp(1,0)

        ,dp(0,1))

  +d(1,1)

=1+0=1

1

dp(1,2)

=min(dp(0,1)

        ,dp(1,1)

        ,dp(0,2))

  +d(1,2)

=1+1=2

1

dp(1,3)

=min(dp(0,2)

        ,dp(1,2)

        ,dp(0,3))

  +d(1,3)

=2+1=3

1

dp(1,4)

=min(dp(0,3)

        ,dp(1,3)

        ,dp(0,4))

  +d(1,4)

=3+1=4

2

2

dp(2,0)

=dp(1,0)+d(2,0)

=3+2=5

1

dp(2,1)

=min(dp(1,0)

        ,dp(2,0)

        ,dp(1,1))

  +d(2,1)

=1+1=2

2

dp(2,2)

=min(dp(1,1)

        ,dp(2,1)

        ,dp(1,2))

  +d(2,2)

=1+2=3

0

dp(2,3)

=min(dp(1,2)

        ,dp(2,2)

        ,dp(1,3))

  +d(2,3)

=2+0=2

0

dp(2,4)

=min(dp(1,3)

        ,dp(2,3)

        ,dp(1,4))

  +d(2,4)

=2+0=2

4

4

dp(3,0)

=dp(2,0)+d(3,0)

=5+4=9

1

dp(3,1)

=min(dp(2,0)

        ,dp(3,0)

        ,dp(2,1))

  +d(3,1)

=2+1=3

0

dp(3,2)

=min(dp(2,1)

        ,dp(3,1)

        ,dp(2,2))

  +d(3,2)

=2+0=2

2

dp(3,3)

=min(dp(2,2)

        ,dp(3,2)

        ,dp(2,3))

  +d(3,3)

=2+2=4

2

dp(3,4)

=min(dp(2,3)

        ,dp(3,3)

        ,dp(2,4))

  +d(3,4)

=2+2=4

2

2

dp(4,0)

=dp(3,0)+d(4,0)

=9+2=11

1

dp(4,1)

=min(dp(3,0)

        ,dp(4,0)

        ,dp(3,1))

   +d(4,1)

=3+1=4

2

dp(4,2)

=min(dp(3,1)

        ,dp(4,1)

        ,dp(3,2))

  +d(4,2)

=2+2=4

0

dp(4,3)

=min(dp(3,2)

        ,dp(4,2)

        ,dp(3,3))

  +d(4,3)

=2+0=2

0

dp(4,4)

=min(dp(3,3)

        ,dp(4,3)

        ,dp(3,4))

  +d(4,4)

=2+0=2

计算出所有的dp值之后,就可以得到它的DTW值,也即2

4 python 实现

dtw_lst=[[-1 for _ in range(len(b))] for _ in range(len(a))]
#DTW矩阵,也就是上例中的dp(i,j)

def dist(i,j):
    return(math.fabs(a[i]-b[j]))
#两个点之间的欧几里得距离

dtw_lst[0][0]=dist(0,0)

def DTW(i,j):
    if(dtw_lst[i][j]!=-1):
        return(dtw_lst[i][j])
        #表示之前已经计算过这一对(i,j)的dtw了
    else:
        dtw_prev=np.inf
        if(i!=0):
            dtw_prev=min(dtw_prev,DTW(i-1,j))
        if(j!=0):
            dtw_prev=min(dtw_prev,DTW(i,j-1))
        if(i!=0 and j!=0):
            dtw_prev=min(dtw_prev,DTW(i-1,j-1))
        #由于不知道有没有左上,左,和上的点,所以需要讨论
        dtw_lst[i][j]=dtw_prev+dist(i,j)
        return(dtw_lst[i][j])

DTW(len(a)-1,len(b)-1)
#2.0

和手推的结果是一样的

参考资料

IT技术 - 简书 (jianshu.com)

理解dynamic time warping(DTW)的基本思想 - 知乎 (zhihu.com)

标签:Warping,min,python,DTW,距离,序列,dtw,dp
来源: https://blog.csdn.net/qq_40206371/article/details/122564982