算法篇（1）

2021-11-28 17:04:03 作者：互联网

算法篇（1）

因为下学期才开始概率论的学习，所以这里简单写下学习笔记。

贝叶斯滤波

相信大家对概率都不陌生吧，但是今天介绍的贝叶斯滤波与我们平常的概率学不大相同，这里举个我学长跟我介绍的例子，就比如我们平常抛硬币，我们抛一次正面朝上的概率是1/2，抛10次，100次呢？按平常的习惯我们一般都是觉得是1/2，为什么是1/2呢？

这是在大量重复实验中获得的我们平常所依靠的概率，但是在贝叶斯滤波却会根据每次输入的信息不断更新抛硬币的概率，这样我们抛硬币的概率就不是1/2了。简单来说就是贝叶斯概率是根据自己的生活活动积累，对某件事情发生的可能性给出的信息，贝叶斯允许利用主观概率。

这里先分享下我学习的博客：【易懂教程】我是如何十分钟理解与推导贝叶斯滤波(Bayes Filter)算法？_@司南牧|知乎|博客|易懂教程|李韬-CSDN博客_贝叶斯滤波

贝叶斯框架大概可以概述为，用两个传感器，一个用于预测下一次状态，一个用于观测，矫正下一次状态，不断更新迭代状态信息，并剔除较大的传感器误差。

提到滤波，就不得不提，滤波和优化有什么区别：

滤波：根据当下的变量信息确定下一时刻变量的信息，每一时刻只根据上一时刻的数据的信息进行估计当前的信息。

优化：构建一个图，在图中维护所有时刻的状态信息，等到回环形成后对所有状态进行调整。

为什么贝叶斯只根据当下的变量信息，而不用以往的所有变量信息来确定下一刻的变量信息呢？
马尔科夫假设：机器人当前时刻状态是对过去所有预测和观测的完整总结，机器人可以不依赖先前的信息就可以估计下一时刻变量的状态。简单来说就是，当下的信息足够准确，准确到不再需要其他时刻状态信息来确定下一时刻的变量状态。

这里，我用小车的状态估计讲解下贝叶斯滤波的推导。

当小车在实现障碍物避障时，
在 t 时刻检测到自己离障碍物的距离是 z t 在t时刻检测到自己离障碍物的距离是z_t 在t时刻检测到自己离障碍物的距离是zt

控制自己移动的命令是让它移动 u t 这么远的距离控制自己移动的命令是让它移动u_t这么远的距离控制自己移动的命令是让它移动ut这么远的距离

算法根据传感器数据和控制器数据估计出障碍物的距离是 x t 算法根据传感器数据和控制器数据估计出障碍物的距离是x_t 算法根据传感器数据和控制器数据估计出障碍物的距离是xt

算法上个时刻估算出的距离是 x t − 1 算法上个时刻估算出的距离是x_{t-1} 算法上个时刻估算出的距离是xt−1

由于传感器，控制器这些经常存在各种误差，所以导致我们小车运动的时候经常存在许多误差（玩无人机的时候这些误差更是要命）。然而我们如何确认哪些数据是我们真正需要的数据呢？

取算法算出概率大于80％的值进行输入，只要大于80%我们就可以大致认为这个数据是正确的
（ P ( x t ∣ z t , u t , x t − 1 ) 这个概率公式指的是在知道传感器数据是 z t ，控制器数（P(x_t|z_t,u_t,x_{t-1})这个概率公式指的是在知道传感器数据是z_t，控制器数（P(xt∣zt,ut,xt−1)这个概率公式指的是在知道传感器数据是zt，控制器数

据是 u t ，上个状态是 x t − 1 的情况下当前状态是 x t 的概率。）据是u_t，上个状态是x_{t-1}的情况下当前状态是x_t的概率。）据是ut，上个状态是xt−1的情况下当前状态是xt的概率。）

以下为我们的已知条件：

（1）.
P ( z t ∣ x t ) P(z_t∣x_t) P(zt∣xt)
当小车Xt状态时，观测值为Zt的概率。

（2）.
P ( x t ∣ x t − 1 , u t ) P(x_t∣x_t−1,u_t) P(xt∣xt−1,ut)
当小车上个状态确定，然后采取了Ut这个操作时，小车此时距离障碍物的距离为Xt的概率。

（3）.
P ( u t ∣ x t − 1 ) P(u_t∣x _{t−1}) P(ut∣xt−1)
当小车上个状态确定，然后小车此时执行指令Ut的概率。

（4）.

当前小车的观察值Zt只与当前的Xt有关，与另外两项无关。

（5）.当前状态Xt与上个时刻的状态和控制命令有关。

推导开始：

1.根据算法定义

在这里插入图片描述

（计算Xt在传感器数据、控制器数据、上次的距离都确定的条件下的准确率。）

在这里插入图片描述

有上述5个已知得，Zt的已知条件只有一个（已知（1）），而且是在|的左边，所以我们将Zt都转换到|的左边进行计算。

在这里插入图片描述

由我们的已知条件（3），可将分母的P转换。

在这里插入图片描述

由我们的已知条件（2），可将分子转换。

在这里插入图片描述

又可由已知条件（3），将分子继续转换。

在这里插入图片描述

分子分母相消。

在这里插入图片描述

由已知（4）（5）可将上述P式转换，结果带入式中，计算得：
在这里插入图片描述

8.此时用η 表示分母，则得到下式:

$[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BaK0OTQJ-1638088200235)(C:\Users\Smile\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20211128161758486.png)]$

以上就是所有的推导啦。

11.28学习笔记。

标签：状态,概率,滤波,贝叶斯,算法,时刻,xt
来源： https://blog.csdn.net/qq_52533790/article/details/121593489