后缀自动机构造算法学习笔记

本文是笔者学习过程中的一些心得体会，不是从入门讲起的，请各位谅解

首先解释一下概念，"后缀自动机"是指的可以识别字符串所有后缀的有限状态自动机。

而我们平时做题用的后缀自动机叫做最简状态后缀自动机。

一个字符串的后缀自动机不唯一，但是最简状态后缀自动机唯一！

后缀自动机的线性构造算法

后缀自动机的构造算法是在线的增量更新。

考虑每次新加入一个字符\(x\)，我们需要做的是在保证时空复杂度的基础上构造出新形成的后缀

假设当前的字符串为\(L\)，我们列出right集合中含有\(|L|\)的所有状态，设其为\(v_1, v_2, \dots, v_k\)

一个显然的构造思路是我们可以在这些状态后面都加一条\(x\)出边，但是这样的状态数就是\(n^2\)的了。因此我们需要利用之前的状态进行压缩，然而对于不含\(x\)出边的状态，我们仍然需要引出一条\(x\)的出边。

考虑第一个含有\(x\)出边的状态\(p\)，在这之后的状态因为表示的都是\(p\)状态的后缀，因此他们也一定含有\(x\)出边。我们考虑想办法用这些出边表示之后的新后缀

接下来就是经典的关于\(len[p]\)与\(len[q]\)的讨论

如果\(len[p] + 1= len[q]\)，那么说明\(q\)节点可以作为新的可接受节点，直接把最后添加的节点的father设为q即可

举个例子。

考虑往ab后面加入字符a

它的SAM会变成这个样子

我们来模拟一下a加入时的过程

首先从\(3\)引出一条a边。

接着跳到父亲\(1\)号点，发现其含有a边连向的节点\(2\)，且\(len[2] = len[1] + 1\)，那么直接让\(fa[a] = 2\)即可。

这样不会有任何问题。

但是考虑如果是往ab后面添加b，它的SAM会变成这样

我们来模拟一下他的添加过程

首先从\(3\)引出一条b边。

接着跳到父亲\(1\)号点，发现其含有b边连向的节点\(3\)，但是这个时候\(len[3] > len[1] + 1\)，说明我们不能直接连接。加入我们连接了会发生什么呢？

这个时候\(3\)号节点会同时表示字符串ab与b，显然这两者的right集合是不同的(前者是\(\{2 \}\)，后者是\(\{2, 3\}\))

参考资料

WC2012陈立杰后缀自动机讲稿

标签：状态,后缀,len,算法,出边,自动机,节点
来源： https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/10390319.html