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快速幂算法

作者:互联网

我们首先来看一个问题:

给定三个正整数a,b,m(a<10^9, b<10^18, 1<m<10^9),求 a^b%m。

如果用循环来写,不断乘上a再取模,时间复杂度为O(b)。很容易超时。

所以我们考虑快速幂算法。它基于二分的思想,也被称为二分幂

递归写法

1.如果b是奇数,那么有:\(a^b = a*a^{b-1}\)

2.如果b是偶数,那么有:\(a^b = a^{b/2}*a^{b/2}\)

typedef long long LL;
// 递归求a^b%m
LL binaryPow(LL a,LL b,LL m){
    if (b == 0) return 1;

    if (b%2 == 1) return a * binaryPow(a,b-1,m) % m;
    else{
        LL mul = binaryPow(a,b >>1,m);
        return mul * mul % m;
    }
}

迭代写法

把b写成二进制的形式,那么b可以写成若干二次幂之和。

例如13的二进制形式为1101, \(13=2^3+2^2+2^0,a^{13}=a^8\ *a^4\ *a^1\) 。

不难推出:当b的二进制的第i(从0开始)位是1时,初值ans=1要乘上\(a^{2{^i}}\)。由于我们每次迭代时令a平方

(\(a=a^{2i}\)),所以枚举当前第i位时,a已经迭代到初始a的\(2^i\)次方,如果是1,就令ans乘上a。

typedef long long LL;
//  迭代求a^b%m
LL binaryPow(LL a,LL b,LL m){
    LL ans = 1;
    while (b > 0){
        // 等价于b%2 == 1
        if (b&1) ans = ans*a%m;
        a = a*a%m;
        b >>1;
    }
    return ans;
}

在实际应用场景,两种写法效率差不多。

大数取模公式总结:

参考资料1:博客园

参考资料2:《算法笔记》

标签:b%,return,LL,long,算法,ans,快速,binaryPow
来源: https://www.cnblogs.com/grant-drew/p/15001605.html