前言

　　上一节我们详细介绍了基本矩阵乘法和分治递归算法，详情可见”https://www.cnblogs.com/Bosson/p/14987366.html“。

　　这一节将详细介绍Strassen算法。

Strassen算法

　　Strassen算法目的是对分治递归算法的递归树进行剪枝，即从8次递归降为7次递归。

　　过程共有四个步骤：

• • 将A、B、C各自分解为4个子矩阵（与前述相同）
  • 创建10个同维度的矩阵S_i（i = 1~10），每个矩阵S_i保存A和B的8个子矩阵之间的和或差，需要花费O(n²)
  • 利用上述的8个子矩阵和10个S_i矩阵，递归计算7个矩阵积P_j，时间递归算法为T(n) = 7T(n/2) + O(n²)，解为O(n^lg7)
    
  • 通过对P_j的不同组合进行加减运算，计算出矩阵C的4个子矩阵，需要花费O(n²)

　　接下来开始介绍Strassen算法的细节。

　　在步骤二中，我们需要创建10个S_i矩阵如下所示：

S₁ = B₁₂ - B₂₂

S₂ = A₁₁ + A₁₂

S₃ = A₂₁ + A₂₂

S₄ = B₂₁ - B₁₁

S₅ = A₁₁ + A₂₂

S₆ = B₁₁ + B₂₂

S₇ = A₁₂ - A₂₂

S₈ = B₂₁ + B₂₂

S₉ = A₁₁ - A₂₁

S₁₀ = B₁₁ + B₁₂

　　在步骤三中，我们需要递归计算7次n/2 x n/2子矩阵的乘法，如下所示：

P₁ = A₁₁ x S₁

P₂ = S₂ x B₂₂

P₃ = S₃ x B₁₁

P₄ = A₂₂ x S₄

P₅ = S₅ x S₆

P₆ = S₇ x S₈

P₇ = S₉ x S₁₀

　　在步骤四中，我们需要利用P_j矩阵进行加减法运算，计算出C的4个子矩阵，如下所示：

C₁₁ = P₅ + P₄ - P₂ + P₆

 C₁₂ = P₁ + P₂

C₂₁ = P₃ + P₄

C₂₂ = P₅ + P₁ - P₃ - P₇

　　经过验算，可以发现C的4个子矩阵结果与分治递归算法中的结果是一致的。

 

总结

　　步骤三中递归式的解为O(n^lg7)，lg7 ≈ 2.81，即Strassen算法的渐进复杂性低于直接的矩阵乘法计算过程，是矩阵乘法的一种时间上改进的方法。　　

标签：10,递归,矩阵,个子,Strassen,算法,乘法
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