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UOJ498
大量生成函数！ 大概是给出 \(n\) 个无向图大小，连边概率 \(\frac{1}{2}\) ，定义 \(G_1\times G_2=(V',E')\) 为图的乘积，然后最后求 \[V=\{(a_1,a_2...a_n)|a_1\in V_1,a_2\in V_2...a_n\in V_n\} \]\[E=\{((a_1,a_2...a_n),(b_1,b_2...b_n))|(a_1,b_1)\in E_1,(a_2,b_2)\in E_2..Cayley 公式的另一种证明
Cayley 公式的一些广为人知的证法： Prufer 序列 Matrix-Tree 定理 然而我都不会 233，所以下面说一个生成函数角度的证法 . 我们知道 \(n\) 个节点的有标号无根树有 \(n^{n-2}\) 种，即 Cayley 公式 . 具体数学的做法是考虑递推完全图生成树个数，然后推出 EGF 的关系 . 那个递推太牛[JSOI2019] 神经网络
一、题目 点此看题 二、解法 有一个神奇的题意转化：我们把每一棵树划分成若干条链，因为不同的树任意两点之间都有边，所以我们把这些链任意连接就形成哈密顿回路，要求是相邻的链必须来自不同的树。 首先我们考察把树划分成 \(i\) 条链的方案数 \(f_i\)，可以直接树背包，在确定一条链并且这EGF
\[\hat{F}(x)=\sum_{n} a_n\frac{x^n}{n!} \]（全文都是以 EGF 为基础） 封闭形式 \[\sum_{n\ge 1} \frac{x^n}{n!}=e^x \] 这个有关于麦克劳林级数（泰勒展开的一种特殊情况） 泰勒公式 若 \(x\) 在 \(x_0\) 处可导，那么当 \(x\to x_0\) 时，函数的展开式近似于： \[f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x自然数幂和
听说一个人的数论要用伯努利数处理自然数幂和，然而我之前只会插值，吓得跑去学了一下自然数幂和 . 附录 — 前置知识 插值相关：看我的博客 link（旧文慎入） . 第二类斯特林数相关： 定义：第二类斯特林数 \(\displaystyle{n\brace k}\) 表示 \(n\) 个有标号小球放入 \(k\) 个无标号集合，每个ARC136 Flip Cells 题解
\(\newcommand{e}{\mathrm{e}}\) 链接 没有数学基础，不保证讲解严谨性。 根据套路，设 \([x^t]\hat F(x)\) 为 \(t\) 时刻在终点的概率 EGF，\([x^t]\hat G(x)\) 为从终点走 \(t\) 步回到终点的概率 EGF，并将 \(\hat F, \hat G\) 转回 OGF \(F, G\)（\(\e^{px} \to \dfrac{1}{1-px}\)），因为