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二次剩余与 Cipolla 算法
二次剩余 对于 \(P,n\)，若存在 \(x\)，满足： \[x^2≡n\pmod p \]则称 \(n\) 为模 \(P\) 意义下的二次剩余。 勒让德符号 定义如下： \[\left(\frac{n}{p}\right)= \begin{cases} 1,&n\text{ 在模 $p$ 意义下是二次剩余}\\ -1,&n\text{ 在模 $p$ 意义下是非二次剩余}\\ 0,&n\equiv0\pmod二次剩余 Cipolla 算法浅析
参考资料 yyb blog Kewth blog 求解 \[x^2=n \pmod p \]仅介绍模数 p 为奇素数的解法，也就是 Cipolla 算法。 判定是否存在二次剩余 设 \(n=g^a,x=g^b\)，由于原根环的长度为 \(p-1\) （是个偶数）， 列出方程 \(2b = a \pmod {p-1}\)，根据贝祖定理，当且仅当 \(\gcd(p-1,2)=2 \mid a\) 时【Coel.做题笔记】【旁观者…】二次剩余- Cipolla 算法
题前闲语 这周末就是省选了，甚至考场就在这个机房，可惜我并没有参加的机会。 唉，今年得好好努力了！ 题目简介 给出 \(N,p\)，求解方程 \[x^2 \equiv N(\bmod ~p) \]多组数据。 保证 \(p\) 是奇素数。 输入输出格式 输入格式 第一行一个整数 $T$ 表示数据组数。 接下来 \(T\) 行，每行两个【模板】【数论】二次剩余Cipolla算法，离散对数BSGS 算法
Cipolla LL ksm(LL k,LL n) { LL s=1; for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo; return s; } namespace number { LL D; struct Z { LL x,y; Z(LL _x=0,LL _y=0){x=_x,y=_y;} }; Z operator +(const Z &x,c二次剩余Cipolla算法学习笔记
\(Cipolla\)好像是个很厉害的东西……虽然我觉得这东西直接用离散对数+\(bsgs\)艹过去也可以…… 如无特殊说明，以下均默认\(p\)为模数，且\(p\)为奇素数 如无特殊说明，以下均认为运算在\(\mathbb{F}_p\)下进行（元素为\(0\)到\(p-1\)这\(p\)个元素，运算为模\(p\)意义下的加减乘除） 定义 二P5277 【模板】多项式开根（加强版）（bsgs or Cipolla）
题面 传送门 题解 首先你得会多项式开根->这里 其次你得会解形如 \[x^2\equiv a\pmod{p}\] 的方程 这里有两种方法，一个是\(bsgs\)（这里），还有一种是\(Cipolla\)（施工）（不过这个只能用来解二次剩余就是了） 代码里留着的是\(bsgs\)，注释掉的是\(Cipolla\) 如果用\(Cipolla\)的话注意这里需要二次剩余Cipolla算法
参照jklover的博客。 概述 大概就是在模\(p\)意义下开根号,如求解方程\(x^2\equiv n\ (\bmod p)\). 这里只考虑\(p\)为素数的情况.若\(p=2\) ,则\(x=0\ when\ n=0,x=1\ when\ n=1\). 若\(p\)为奇素数,定义勒让德符号: \[\lgroup\frac{n}{p}\rgroup =n^{\frac{p-1}{2}}\] 则根据欧