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安振平老师的5894号不等式问题的证明
题目:已知$a,b,c>0$,$a^2+b^2+c^2=3$,求证:$\frac{a}{1+2a^3}+\frac{b}{1+2b^3}+\frac{c}{1+2c^3}\leq \frac{a+b+c}{1+2abc}.$ 证明: 由已知及AM-GM不等式可得$3=a^2+b^2+c^2\geq 3(abc)^{\frac{2}{3}},$于是$0<abc\leq 1.$安振平老师的5895号不等式问题的证明
题目:已知$a,b,c>0$,求证:$\frac{a^2}{1+2a^2b}+\frac{b^2}{1+2b^2c}+\frac{c^2}{1+2c^2a}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{1+2abc}.$证明:原不等式等价于$\frac{a^2(1+2a^2b)-2a^4b}{1+2a^2b}+\frac{b^2(1+2b^2c)-2b^4c}{1+2b^2c}+\frac{c^2(1+2c^2a)-2c^4a}{1+2c^2a}\leq \frac{a^2+b安振平老师的5900号不等式问题的证明
题目:已知$a,b,c>0$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$,求证：$\frac{8}{1+ab+bc+ca}-\frac{3}{a+b+c}\leq 1.$ 证明:由已知可设$a=\frac{x+y+z}{3x},b=\frac{x+y+z}{3y},c=\frac{x+y+z}{3z}(x,y,z>0)$,则原不等式等价于 $4xyz\sum{x(y-z)^2}+4\sum{y^2z^2(y-z)^2}+\sum{yz