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2022.8.22
上午补充一下PPT，讲了课，发现之前弦图性质的证明有些Bug。 讲课内容没大问题，搞清楚二项式反演和扩展min-max容斥的推导，学习单位根反演。 CF的题还没有时间看。 Todo List 先做完题单里数论+反演的部分 有时间的话写前天CF的比赛题FFT - 快速傅里叶变换 - TEST
FFT - 快速傅里叶变换 目录FFT - 快速傅里叶变换写在前面目的前置知识原根单位根单位根性质等比数列求和公式正文单位根反演推式子继续推式子Code优化写在后面 写在前面 该博客仅为个人对一些算法的理解与总结，不保证正确性，同时欢迎各位纠正。 目的 FFT (Fast Fourier Transform)任意长度循环卷积&单位根反演 学习笔记
今天听 \(\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}\) 嘴的，赶紧来补个学习笔记。 PS：FFT 本质是长度为 \(2^k\) 的循环卷积。 单位根反演 反演本质： \[\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ai}=[n|a] \]证明： 如果 \(n|i\)，那么显然可以将 \(a\) 拆为若干个 \(\omega_n^n\)，之后式子只剩下[学习笔记] 单位根反演
引入 单位根反演一般用于求一类 \(i \bmod k\) 的求和式，通过枚举 \(j \equiv i \pmod{k}\)，将式子转化为 \(k\) 次单位根下的操作。这一般要求 \(k \mid (\mathrm{mod}-1)\)。通常会结合二项式定理使用。 单位根反演 在 FFT 中我们其实已经见过它了： \[[n\mid k] = \frac{1}{n} \su3b1b 题 多项式+单位根
原视频链接 我这里梳理一下思路，并夹带个人私货。 \(S=\{1,2,\dots,2020\}\)，问有多少个 \(T\subseteq S\)，使得 \(T\) 的元素和为 \(5\) 的倍数（空集的元素和定义为 \(0\)）。 要手算能得出答案的方法。 我们很快发现很难暴力算，想到背包，即多项式 \[F(x)=\prod_{i=1}^{2020}(1+x^i) \]Diary & Note - 两个惊喜
我们有单位根反演： \[\sum_{k\mid n}[x^n]f(x)=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i). \]我们有 CRT： \[x\equiv r_{1..n}\pmod{m_{1..n}}\\ \Leftrightarrow x\equiv \sum_{i=1}^nr_i\cdot\operatorname{inv}(M/m_i,m_i)\cdot M/m_i\pmod M. \]我们还有 Lagrange单位根
复数中的三角函数表示 假设复数 \(z\) 的模长为 \(l\) ，和 \(x\) 坐标的夹角为 \(\alpha\) \[z=l(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha)) \]欧拉定理： \[z=x+iy \]\[e^z=e^x(\cos(y)+i\sin(y)) \] 更简便的表示 \(e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\) 单位根 在复数平面上的单位圆中 \(n\) 次单原根
定义 当 \(\gcd(a,p)=1\) ，最小的 \(n\) 使得 \(a^n\equiv 1\pmod p\) ，称为 \(a\) 模 \(p\) 的阶 ，\(n=\xi_p(a)\) 对于 \(g\) ，如果满足 \(\gcd(g,p)=1,\xi_p(g)=\varphi(p)\) ，那么 \(g\) 为 \(p\) 的一个原根 性质有关 NTT 设 \(g\) 为质数 \(p\) 的一个原根 设 \(g_n=g^{\f时间序列平稳性检验（ADF）和白噪声检验（Ljung-Box）
在对时间序列做预测前，我们要对数据进行一系列检验，主要是检验数据的稳定性和随机性（白噪声检验），本文主要介绍ADF检验和Ljung-Box检验 ADF检验 ADF检验即单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，因为存在单位根就是非平稳时间序列了。单位根就是指单位根过程，可以证明，序列中存在单位根反演学习笔记
存在式子 \[n\cdot [n|k]=\sum_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ik}\\ \]我们考虑来证明一下， 若 \([n|k]=1\) ，那么显然 \(\omega_n^{ik}=1\) 。 若 \([n|k]\ne 1\) ，那么后者就是一个等比数列，我们运用求和公式 \(\frac{\omega_n^{nk}-1}{\omega_n^k-1}=0\) 。 我们可以利用这个式子提取出一『学习笔记』FFT与NTT
这个傻逼目录为什么挂了啊？？ 中文名：快速傅里叶离散变换、快速数论变换 英文名：fast fast tle FFT,NTT 之前看这东西看了好久没看懂，回来看原来只是几个无脑操作 前置芝士：三角函数基础(FFT)、原根(NTT) \(\mathtt {FFT}\) 部分 1. 胡扯 假如现在给你两个多项式 \(f,g\) ，怎么算出它们的原根学习笔记
以下涉及到的运算如无特殊说明均为模 \(p\) 意义下的运算 阶与原根 我们把最小的满足 \(a^x\equiv1\) 的正整数 \(x\) 称为 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的阶。 如果 \(a\not\perp p\)，则 \(a\) 的阶不存在。这是因为 \(a,p\) 均有 \((a,p)\) 这个因子，所以 \(a^x-kp\) 也一定含有 \((多项式入门
https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/ntt-yu-duo-xiang-shi-quan-jia-tong FFT \(\bullet\) 单位根 \(n\) 次单位根指 \(n\) 次幂为 \(1\) 的复数。 将单位圆 \(n\) 等分，圆周上辐角为 \(\dfrac {k\pi} {n}(k\in[0,n))\) 的复数均为 \(n\) 次单位根。 一些性质： \(\cdot\)FFT简陋入门
FFT入门 FFT的用途 在\(\,\Theta(n\log{n})\,\)的时间内计算离散傅里叶变化（DFT），通常用来计算多项式乘法 点值表达式 引理1：任何\(\,n-1\,\)次多项式可以由其在\(\,n\,\)个点的取值唯一确定 考虑反证，设\(\,n\,\)个点\(\,a_1,a_2\cdots a_n\)同时被两个\(\,n-1\,\)次多项式函数\(\,AZH单位根问题——时间序列分析
问题：进行面板单位根和协整检验。请检验npr是否在前10个证券中存在单位根。请检验npr和li是在前3个证券中存在协整关系。 《Stata统计分析与行业应用案例详解(第二版)》第15章 时间序列 时间序列分析的基本操作 预处理 提前对数据进行简单回归，分析该数据是否适合用时间序列分析。题解 lugu P5591 小猪佩奇学数学
传送门 【分析】 单位根反演 + CZT \(\begin{aligned} \sum_{i=0}^n\binom n i p^i\lfloor{i\over k}\rfloor&=\sum_{i=0}^n\binom n i p^i\cdot {i-(i\bmod k)\over k} \\&={1\over k}\left(\ p\sum_{i=0}^n \binom n i {\text d\over \text dp}p^i - \s2021杭电多校第五场1002（单位根反演）
2021杭电多校第五场1002 Problem - 7013 (hdu.edu.cn) 题意： 给一个长度为 \(L\) 的字符串，包含前 \(k(k>=2)\) 个小写字母，可以得到不同的字符串有 \(k^L\) 种 对于每一对 \((i,j),(0\le i,j)\) ,找出包含 \(p\) 个 \('a'\) , \(q\) 个 \('b'\)，满足 \(q\equiv i(mod\ n),p\equiv j(mZR模拟赛4
Time Record 8:52 T1 50pts 9:55 T1 +50pts=100pts 10:00 T1 开始对拍 10:15 发现T1空间开错 挽救回来 10:23 发现T1卡空间 开始补救 忘了 发现T2的正解是码农玩意儿 A 考虑用线段树合并维护子树内大于/小于自己的点数，然后统计一下即可。 http://www.zhengruioi.com/submission#单位根反演，二项式定理#LOJ 6485 LJJ 学二项式定理
题目 \[\large\sum_{i=0}^nC(n,i)S^ia_{i\bmod 4} \]\(n\leq 10^{18},S,a\leq 10^8\) 分析 前面这一坨看起来就像是二项式定理，考虑如何把后面这一坨弄掉 \[\large=\sum_{i=0}^nC(n,i)S^i\sum_{j=0}^3a_j[i\bmod 4==j] \]由于\([i\bmod 4==j]\)等同于\([4|(i-j)]\) \[\large=\frac#单位根反演，二项式定理#LOJ 6247 九个太阳
题目 \[\large {\sum_{i=0}^n[k|i]C(n,i)}\pmod {998244353} \]其中\(n\leq 10^{18}\),\(k=2^p,p\in [0,20]\) 分析 主要是\(k\)条件比较难想，但是貌似有点像NTT的原根， 而且这个组合数也难求，二项式定理是一个将组合数转换为一个快速幂的定理 主要是没写过单位根反演，直接推式子算了Loj#6247-九个太阳【单位根反演】
正题 题目链接:https://loj.ac/p/6247 题目大意 给出\(n,k\)求 \[\sum_{0\leq i\leq n,i|k}\binom{n}{i} \]对\(998244353\)取模 \(1\leq n\leq 10^{15},1\leq k\leq 2^{20},k=2^p(p\in N)\) 解题思路 随便找的一题竟然是单位根反演，不过很基础而且很裸。 首先单位根反演的式子\(单位根反演 小猪佩奇学数学
题面 一个比较纯粹的推式子题目，第一步先将整除拆开： ∑ i = 0 nR语言arima，向量自回归（VAR），周期自回归(PAR)模型分析温度时间序列
原文链接： http://tecdat.cn/?p=22071 至少有两种非平稳时间序列：具有趋势的时间序列和具有单位根的时间序列（称为单整时间序列）。单位根检验不能用来评估时间序列是否平稳。它们只能检测单整时间序列。季节性单位根也是如此。 这里考虑月平均温度数据。 > mon=read.table("t「考试总结2021-04-06」 线代
A. 环形划分 输出所有三个互不相同的 \(i,j,k\) 满足 \(i<j<k,i+j+k\equiv 0 \bmod n\) 即可 如果一种边的两端标号 \((i,j)\) 使得 \(i+j+i\equiv 0 \bmod n\)，那么不会被输出 显然这样的边不会超过 \(n-1\) 个（枚举 \(i\)，同时 \(n\) 不合法） 所以这个做法是正确的 B. 最小表示 考虑单位根反演学习笔记
单位根反演学习笔记 公式 \([n|a]=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}w_n^{ak}\) 当 \(a=0 \pmod n\) 时，\(w_n^{ak}=1\)，所以该式的值为 \(1\)。 当 \(a \ne 0 \pmod n\) 时，根据等比数列的求和公式， 原式 \(=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}w_n^{ak}=\dfrac{1}{n}\dfrac{w_n^