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简介
解法
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简介

最小点权覆盖集问题指的是：在图中选取一些点，满足图中每条边连接的两个点中，至少一个被选择，求所选取的点最小权值和。

最大点权独立集问题是最小点权覆盖集问题的对偶问题，指的是：在图中选取一些点，满足：图中每条边连接的两个点中，至多一个被选择，求所选取的点最大权值和。

对于一般图而言，这两个问题是 \(NPC\) 问题，因此我们着重讨论二分图情况的解法。

解法

因为两个问题是对偶的，所以我们只需解决最小点权覆盖集问题，下为解法：

构建流网络 \(G_N\)

• 对原图 \(G\) 二分染色，简便起见，记点的颜色为白点、黑点。
• 建立源点 \(s\) ，\(s\) 向白点连接容量为相应点权值的边。
• 类似地，黑点向汇点 \(t\) 连接容量为相应点权值的边。
• 图中原有的边连接容量为 \(∞\) 的边。

在流网络 \(G_N\) 上跑一遍最小割就可以求出答案了。

正确性简证：对于任意一条从 \(s\) 到 \(t\) 的路径，一定存在一条边被割断，而且因为原图对应的边容量为 \(∞\) ，因此割边必然存在于 \(s\) 与白点之间或者黑点与 \(t\) 之间，对应的流量便是选取的最小点权。

（待upd）

标签：覆盖,点权,白点,最小,选取,连接,解法
来源： https://www.cnblogs.com/Tenshi/p/14747496.html