【连载】线性代数笔记——第二章矩阵2
作者：互联网
我是灼灼，一只初学Java的大一金渐层。
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教材|线性代数第三版（上海交通大学出版社）
内容|第二章矩阵|第三节/第四节
文章目录
第二章矩阵
2.3|可逆矩阵
逆矩阵
定义concept：
A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，st.AB=BA=En，则称矩阵A是可逆的,称矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
表示：
B=A^-1;
注意：
-
不是每个方阵都有逆矩阵。
-
逆矩阵的唯一性。
-
定理：
- 若 矩 阵 A 可 逆 ， 则 其 逆 矩 阵 是 唯 一 的 若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的 若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的
-
-
逆矩阵的存在性——矩阵可逆的充要条件。
定义：
设A=（aij）n（n>=2）
aij在|A|中的代数余子式为Aij，则称n阶矩阵
图！【类似转置的行列式】
为A的伴随矩阵，记为A^*.
例：
求矩阵A的伴随矩阵A^*；
方法：求出每一个代数余子式，列出A^*；
若|A|=60【行列式的值为60】，AA^*（矩阵乘法）=数量矩阵，对角线元素恰为|A|，即
图！
所以AA^*=A^*A=|A|E【im】；（伴随矩阵基本性质）
定理：
n阶矩阵A可逆<=>|A|！=0（充分必要条件）
且
A^(-1)=1/|A|·A^*.
----------求逆矩阵的伴随矩阵法！------------
证明：
必要性——
图！
充分性——
图！
推论：
若存在n阶矩阵B，st BA=E（或AB=E）
则矩阵A可逆，且
A^(-1)=B。
【注：一阶矩阵A=（a）可逆<——>|A|=a！=0，A^(-1)=1/a】
证明：
若AB=E，则|AB|【=|A||B|】=|E|=1，所以|A|！=0，所以矩阵A可逆。
定义：
行列式不为零的矩阵称为非奇异矩阵；|A|=0，奇异矩阵。
求逆方法——A^*；
例：（求逆）
n阶矩阵A满足：A^2-3A-5E=0，证明：A+2E可逆，用矩阵A表示A+2E的逆矩阵。
解-
（A+2E）(A-5E)=-5E，两边同除以（-5），得到（-1/5)（A+2E）(A-5E)=E,可求得逆矩阵。
例：
设A为n（n>=2）阶非零实矩阵，A*=AT，证明A可逆。
由A^*=A^T得，Aij=aij，i，j=1，2，3.....n；
因为A不是0矩阵，所以存在aij=！=0，st
图！
克拉默法则的另一种叙述
AX=B，A为系数列矩阵，X为未知数列矩阵，B为常数列矩阵；
若A=（aij）n可逆，则X=A^(-1)B=...
图！
克拉默法则推广
设A为n阶已知可逆矩阵，B为n×k已知矩阵，AX=B，则存在唯一解X=A^(-1)B；
若C为k阶已知可逆矩阵，且AXC=B，则存在唯一解X=A(-1)BC(-1)。
利用求逆方法求解线性方程组
可逆矩阵的性质
设A,B,A1,A2…Ak为n阶可逆矩阵，则
图！
例：
设A,B，A+B均可逆，证…
图！
伴随矩阵的性质
设A为n阶可逆矩阵，（n>=2）
则
图！
2.4|分块矩阵
子块，大写A，下标与所处位置有关。
分块矩阵的相等
s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;
Ast,Brq；
分方法一样，两矩阵相等【同型且相等】
则A=B。
分块矩阵的运算
分不分块运算结果相同。
1.分块矩阵的加法与数乘
A=(Aij)s×t，B=(Bij)s×t；
Aij，Bij同型矩阵，s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;
A+B=(Aij+Bij)s×t，
kA=(kAij)s×t.[乘到每个块上，再针对每个块乘]
- 特殊的分块方法
- A=（ɑ1 ɑ2 ɑ3 ɑ4）【按列分块】
2.分块矩阵的乘法
乘法法则：
对于两个可以相乘的矩阵，
A的列分法=B的行分法，A行B列无所谓
遵循法则随便切~
- A按列分，B不分： （ɑ1 ɑ2 ɑ3 ɑ4）（…图！）=（ɑ1-ɑ3+ɑ4，-ɑ1 + ɑ2）
- A不分，B按列分=（β1 β2），行列式=A（β1 β2）。
- A的列=B的行—>保证子块能乘；
几种常用分块：
- 按行分块
- 图
- 按列分块
- 图
实例：
-
A列分块，B不分 C的列可由A的列线性表示。
-
B列分块，A不分
-
A行分块，B不分
-
B行分块，A不分
C的列可由B的行线性表示。
3.分块矩阵的转置
A = （ A i j ） s × t A=（Aij）s×t A=（Aij）s×t
A T = （ B i j ） t × s = （ A T j i ） t × s A^T=（Bij）t×s=（A^Tji）t×s AT=（Bij）t×s=（ATji）t×s
整体块转置，再把每个小块转置。
4.分块对角矩阵及其运算
称A=
图！
为分块对角矩阵。
乘法（矩阵规则）性质
图！
次对角
反转+取逆；
-
拆项（只能拆其中一项）【行列式的性质】
- 倍加
-
单位向量εi
-
可逆的上三角矩阵的逆矩阵也为上三角矩阵
示。
3.分块矩阵的转置
A = （ A i j ） s × t A=（Aij）s×t A=（Aij）s×t
A T = （ B i j ） t × s = （ A T j i ） t × s A^T=（Bij）t×s=（A^Tji）t×s AT=（Bij）t×s=（ATji）t×s
整体块转置，再把每个小块转置。
4.分块对角矩阵及其运算
称A=
图！
为分块对角矩阵。
乘法（矩阵规则）性质
图！
次对角
反转+取逆；
-
拆项（只能拆其中一项）【行列式的性质】
- 倍加
-
单位向量εi
-
可逆的上三角矩阵的逆矩阵也为上三角矩阵
未完！
如果对你有帮助的话不要忘记一键三连噢~
谢谢鸭~
初次编写于2021/3/29日。
标签：Bij,连载,分块,转置,可逆,矩阵,线性代数,Aij 来源： https://blog.csdn.net/weixin_52777510/article/details/115310938