AVL树（平衡树）的理解与代码实现与讲解（尽可能写清楚）
作者：互联网
AVL树的原理
数据结构|二叉排序树的构造、查找、删除
AVL树在结构上十分严格
1.二叉树满足左结点小于根结点，根结点小于右结点
也要得知 左子树上每一个值都小于根结点，根结点大于柚子树每一个结点！
**2.每一个结点的左子树与柚子树的高度差 最多为1 **
高度
A图（平衡树）
在上面这颗树中 4结点的高度为1；20结点的高度也为1；9结点高度为2。
B图（仔细看 不是平衡树）
高度从最远子树开始算起，存在就是高度为1.
**平衡因子 Balance Factor **
平衡因子bf是用来判断一个结点，左右子树 高度差的
如A图中9结点：左右子树高度均为1，所以二者高度差为0，那么9结点的平衡因子也为0
B图8结点：左子树高度为2，柚子树高度为0 （不存在）所以bf为2
B图4结点：左子树高度为1，柚子树高度为3，bf为-2
之前定义了bf（高度差=绝对值）至多为1，那么说明这个不平衡需要将其调整，看完这篇你就懂如何调整了
平衡二叉树如何实现
我们看图一步一步来！
1.先创建一颗树的第一个结点
2.插入一个数 4
4比9小，是左子树
4的高度为1,9的高度为2，且平衡因子为0和1，平衡树。
3.插入一个结点3
9的左子树高度为2，柚子树高度为0，所以平衡因子（左高-右高）为2。
**打破了平衡，**将其归纳为左左LL型，需要进行平衡调整！
思路：降低高度，保持平衡
对于LL型，将最高的降下来，将中间大小的结点作为根结点
可理解为 将最高结点进行右旋转到最低处。
（如果4有柚子树，那么分配给9作为它的左子树）
4.插入一个结点13
4的平衡因子为-1；9的平衡因子为-1；所以没有打破平衡
5.插入一个结点13
4的平衡因子为-2；9的平衡因子为-2；所以打破平衡。
调整思路： 寻找离地面最近的平衡因子为-2的结点。并以此寻找3个结点的子树
所以此处调整9 13 15
RR 型，左旋将最小值的结点降下来，中间大小结点作为根结点。取代那个降下来的结点。
5.插入一个结点8
4结点的平衡因子为-2，打破了平衡；
然后寻找一颗最近的子树（离地面），且与插入元素一条路 。可见是4-13-9
这是左右型LR
这如何 选择呢？ 遵循一个规律从下面的开始，先左子树进行右旋也就是
9-13进行右旋，
此时新的失衡树变为4-9-13了 而无需再追着8了因为8已经被调整了，但是因为上面的4还未调整，所以此时第二次遵循调整上半部分，柚子树左旋
这里是我看网课看到的 借鉴一下，总结了一下：
对于LR型和RL型来说，把ABC是哪个元素中，把中间那个大小的放在根结点位置，再把最小的放在左结点，最大的放在右结点上。
对于LR 或者RL型，寻找根平衡因子为2或-2的根节点，然以此寻找最近的子树三个结点（也就是里地面最近，最高的平衡因子为2或-2，且与插入元素一条线的（旋转两次，第一次寻找插入结点的 那条线，第二次不用跟着那条线）），
然后将L部分右旋，R部分左旋 ，从下面部分开始进行。
中间大小的那个结点转变为三者的根结点，其左右子树，分别分配给其他两个结点。
AVL代码实现
这一部分比原理难多了 苦笑
一定要画图加深理解，观察结点之间的变换和平衡因子的变换
咱一步一步来
先定义一下AVL树的结构
其多了一个平衡因子，在结构体定义一个int 型 bf
有人可能会说没有出现2和-2
嗯嗯嗯 这点很重要
在2（bf未改，将树的结构改动就可以消除这个2）出现的时候，实际上结构出现了，但是我们及时将它调整回平衡树就行！
#define LH +1/*左边高一点*/
#define EH 0/*等高*/
#define RH -1/*右高*/
上面用来记录平衡因子
#include<iostream>
#include<malloc.h>
typedef int Status;
typedef int elementype;
#define TRUE 1
#define FALSE 0
using namespace std;
#define LH +1/*左边高一点*/
#define EH 0/*等高*/
#define RH -1/*右高*/
typedef struct AVLBTree
{
elementype data;
int bf;//平衡因子
struct AVLBTree *lchild, *rchild;
}*BTree, BNode;
代码的主体部分，构思一下 肯定会出现三连号的 左旋和右旋
那么先实现他！
//右旋
void R_Rotate(BTree &tree)//从失衡结点开始走
{
BTree L = new AVLBTree;//创建一个中间结点
L = tree->lchild;
tree->lchild = L->rchild;//这一步是使得中间元素的右子树 为最大元素的左子树
L ->rchild = tree;//这里是从二者之间的替换
tree = L;
}
//右旋
void L_Rotate(BTree &tree)
{
BTree R = new AVLBTree;
R = tree->rchild;
tree->rchild = R->lchild;
R ->lchild = tree;
tree = R;
}
上面这部分相信很好理解
下面从创建二叉树开始走
这里分为三大部分
1.创建一个结点（树未被创建时，最低端结点未被创立时）
2.插入的元素，从根结点开始比较大小，使用递归寻找其位置
3.当新的元素插入成功后，根据左插入和右插入，修改平衡因子
（三点一线，遵循最高的）最高的那个对于插入左子树的元素x时，
如果x的根结点原本左高一个，那么此时又插入一个就会生成bf为2的结构，就要进行左平衡处理，以免失衡；
如果原本右高，那么左插之后平衡，无需处理
如果原本平衡，那么x的根结点bf改为左高
插入柚子树的元素时类似
Status InSertAVL(BTree &tree, int x, Status *taller)
{
if (tree == NULL)//当树没有建立时
{
tree = new AVLBTree;
tree->data = x;
tree->bf = EH;
tree->lchild = tree->rchild = NULL;
*taller = TRUE;
}
else//树存在时，从根结点开始比较
{
if (x == tree->data)//这步是排除一颗树中相等的元素
{
*taller = FALSE;//没有插入 说明没有长高 taller用于后续判断是否需要旋转调平衡
return FALSE;
}
if (x<tree->data)//往左插 在tree结点的左侧插入 且寻找合适的位置
{
//用递归查找最小的那个值
//InSertAVL 这个函数 插入成功返回真 没插入返回假
//如果在左侧没有遇见相同的，那么将插到一个NULL的结点上 且形成新的结点，然后返回为真。
//所以这一步，插入成功的时候不会执行
if (!InSertAVL(tree->lchild, x, taller))//这里是一个递归 很重要！！！！思路关键
{
return FALSE;
}
//插入成功后，taller为1 （真）
//插入成功之后修改其平衡因子，
//平衡因子修改完之后，进行判断是否需要旋转调平衡
if (*taller)//
{
switch (tree->bf)//查看这个结点的平衡因子
{
case LH:/*原本左高，此时又插入一个左结点 那就不可能平衡，所以要进行平衡处理*/
LeftBalance(tree);//
*taller = FALSE;//左平衡程序后 跳出循环
break;
case EH:/*原本等高*/ //现在插入一个左结点，其平衡打破
tree->bf = LH;//使平衡因子为左高
*taller = TRUE;//需要再次进行递归 调整 以便上面的平衡因子
break;
case RH:/*原本右高，现在插入左结点之后 平衡了 无需处理*/
tree->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
else
{
if (!InSertAVL(tree->rchild, x, taller))
{
return FALSE;
}
if (*taller)
{
switch (tree->bf)
{
case LH://原本左偏，加入柚子树后平衡了
tree->bf = EH;
*taller = FALSE;//标记F 后续无需处理
break;
case EH://原本平衡 往右加入之后 所以改为-1
tree->bf = RH;
*taller = TRUE;//标记T 后续还要进行处理
break;
case RH://原本右偏，加入柚子树后 更加右偏，需要右平衡处理！！！
RightBalance(tree);
*taller = FALSE;//经过R处理之后 标记后续不再进行。
break;
}
}
}
}
return TRUE;
}
balance 这部分如何变化上面可以get到，难处在于，变化之前要将1其平衡因子给修改过来。
void LeftBalance(BTree &tree)
{
BTree L = new AVLBTree;
BTree Lr = new AVLBTree;
L = tree->lchild;
//这个时候进行左平衡有两种情况
//1. 仅仅左插入 所以要进行一次右循环
//2. 打破平衡时是插入了左边的右结点 生成左-右型，这个时候要进行双循环。******上左下右的 结构时，要遵循先将下面的两个结点进行左循环，再将上面两个结点进行右循环
switch (L->bf)
{
case LH://两个连续的左子树，进行右循环即可校正
tree->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(tree);
break;
case RH://中间元素L为-1， 一左一右，插入的是右子树，所以遵循上左下右进行解决
{
Lr = L->rchild;//找到右元素
switch (Lr ->bf)//这一步 是进行平衡因子的修改，因为平衡调整，不仅是位置上的调整，还需调整其平衡因子
{
case LH://具体如何可以根据不同情况画图 然后可以理解
tree->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH://这种是影响 在最下面的左右型
tree->bf = L->bf = EH;
break;
case RH:
tree->bf = EH;
L ->bf = LH;
break;
}
}
Lr->bf = EH;//修正
L_Rotate(tree->lchild);
R_Rotate(tree);
}
}
void RightBalance(BTree &tree)
{
BTree R = new AVLBTree;
BTree Rr = new AVLBTree;
R = tree->rchild;
switch (R->bf)
{
case RH:
tree->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(tree);
break;
case LH:
{
Rr = R->lchild;
switch (Rr->bf)//
{
case RH:
tree->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
case EH:
tree->bf = R->bf = EH;
break;
case LH:
tree->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
}
}
Rr->bf = EH;
R_Rotate(tree->rchild);
L_Rotate(tree);
}
}
关于Balance这 开始也不能理解其中含义，但是画了图之后，就可以理解了，平衡旋转你肯定可以理解l， 这段代码还对平衡因子在旋转之前做了修改。
下面是完整代码，代码源自大话数据结构一书
#include<iostream>
#include<malloc.h>
typedef int Status;
typedef int elementype;
#define TRUE 1
#define FALSE 0
using namespace std;
#define LH +1/*左边高一点*/
#define EH 0/*等高*/
#define RH -1/*右高*/
typedef struct AVLBTree
{
elementype data;
int bf;//平衡因子
struct AVLBTree *lchild, *rchild;
}*BTree, BNode;
//右旋
void R_Rotate(BTree &tree)
{
BTree L = new AVLBTree;//创建一个中间结点
L = tree->lchild;
tree->lchild = L->rchild;//这一步是使得中间元素的右子树 为最大元素的左子树
L ->rchild = tree;//这里是从二者之间的替换
tree = L;
}
//右旋
void L_Rotate(BTree &tree)
{
BTree R = new AVLBTree;
R = tree->rchild;
tree->rchild = R->lchild;
R ->lchild = tree;
tree = R;
}
//判断左平衡
void LeftBalance(BTree &tree)
{
BTree L = new AVLBTree;
BTree Lr = new AVLBTree;
L = tree->lchild;
//这个时候进行左平衡有两种情况
//1. 仅仅左插入 所以要进行一次右循环
//2. 打破平衡时是插入了左边的右结点 生成左-右型，这个时候要进行双循环。******上左下右的 结构时，要遵循先将下面的两个结点进行左循环，再将上面两个结点进行右循环
switch (L->bf)
{
case LH://两个连续的左子树，进行右循环即可校正
tree->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(tree);
break;
case RH://中间元素L为-1， 一左一右，插入的是右子树，所以遵循上左下右进行解决
{
Lr = L->rchild;//找到右元素
switch (Lr ->bf)//这一步 是进行平衡因子的修改，因为平衡调整，不仅是位置上的调整，还需调整其平衡因子
{
case LH://具体如何可以根据不同情况画图 然后可以理解
tree->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH://这种是影响 在最下面的左右型
tree->bf = L->bf = EH;
break;
case RH:
tree->bf = EH;
L ->bf = LH;
break;
}
}
Lr->bf = EH;//修正
L_Rotate(tree->lchild);
R_Rotate(tree);
}
}
void RightBalance(BTree &tree)
{
BTree R = new AVLBTree;
BTree Rr = new AVLBTree;
R = tree->rchild;
switch (R->bf)
{
case RH:
tree->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(tree);
break;
case LH:
{
Rr = R->lchild;
switch (Rr->bf)//
{
case RH:
tree->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
case EH:
tree->bf = R->bf = EH;
break;
case LH:
tree->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
}
}
Rr->bf = EH;
R_Rotate(tree->rchild);
L_Rotate(tree);
}
}
Status InSertAVL(BTree &tree, int x, Status *taller)
{
if (tree == NULL)//当树没有建立时
{
tree = new AVLBTree;
tree->data = x;
tree->bf = EH;
tree->lchild = tree->rchild = NULL;
*taller = TRUE;
}
else//树存在时，从根结点开始比较
{
if (x == tree->data)//这步是排除一颗树中相等的元素 //所以AVL树后面要研究一下，一棵树中有相等的元素时是如何排序的
{
*taller = FALSE;//没有插入 说明没有长高 taller用于后续判断是否需要旋转调平衡
return FALSE;
}
if (x<tree->data)//往左插 在tree结点的左侧插入 且寻找合适的位置
{
//用递归查找最小的那个值
//InSertAVL 这个函数 插入成功返回真 没插入返回假
//如果在左侧没有遇见相同的，那么将插到一个NULL的结点上 且形成新的结点，然后返回为真。
//所以这一步，插入成功的时候不会执行
if (!InSertAVL(tree->lchild, x, taller))//这里是一个递归 很重要！！！！思路关键
{
return FALSE;
}
//插入成功后，taller为1 （真）
//插入成功之后修改其平衡因子，
//平衡因子修改完之后，进行判断是否需要旋转调平衡
if (*taller)//
{
switch (tree->bf)//查看这个结点的平衡因子
{
case LH:/*原本左高，此时又插入一个左结点 那就不可能平衡，所以要进行平衡处理*/
LeftBalance(tree);//
*taller = FALSE;//左平衡程序后 跳出循环
break;
case EH:/*原本等高*/ //现在插入一个左结点，其平衡打破
tree->bf = LH;//使平衡因子为左高
*taller = TRUE;//需要再次进行递归 调整 以便上面的平衡因子
break;
case RH:/*原本右高，现在插入左结点之后 平衡了 无需处理*/
tree->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
else
{
if (!InSertAVL(tree->rchild, x, taller))
{
return FALSE;
}
if (*taller)
{
switch (tree->bf)
{
case LH://原本左偏，加入柚子树后平衡了
tree->bf = EH;
*taller = FALSE;//标记F 后续无需处理
break;
case EH://原本平衡 往右加入之后 所以改为-1
tree->bf = RH;
*taller = TRUE;//标记T 后续还要进行处理
break;
case RH://原本右偏，加入柚子树后 更加右偏，需要右平衡处理！！！
RightBalance(tree);
*taller = FALSE;//经过R处理之后 标记后续不再进行。
break;
}
}
}
}
return TRUE;
}
void main()
{
BTree tree=NULL;
int x;
cin >> x;
Status taller=0;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
cin >> x;
InSertAVL(tree, x, &taller);
system("pause");
}
标签：bf,EH,tree,结点,AVL,taller,尽可能,讲解,平衡 来源： https://blog.csdn.net/weixin_46096297/article/details/114490783