Lecture 3：乘法和逆矩阵

\(A \times B = C\)
其中\(C_{ij} = A_{i\cdot } \cdot B_{\cdot j}\)

矩阵乘法的几种理解方式：

1. 用\(A\)乘以\(B\)的每一列（可以看成\(A\)的列向量的线性组合），得到\(C\)的每一列。
2. 用\(A\)的每一行乘以\(B\)（可以看成\(B\)的行向量的线性组合），得到\(C\)的每一行。
3. 用\(A\)的第\(i\)列乘以\(B\)的第\(i\)行，将所有情况求和，得到\(C\)。
4. 常规方法

矩阵分块：

\[\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_1B_1 + A_2B_3 & A_1B_2 + A_2B_4 \\ A_3B_1 + A_4B_3 & A_3B_2 + A_4B_4 \end{pmatrix} \]

对于可逆方阵\(A\)，有：
\(A^{-1}A = I = AA^{-1}\)
可逆（invertible）、非奇异（nonsingular）
考察矩阵\(A\)

\[\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

为了求\(A^{-1}\)，相当于解两个方程组，也就相当于做两次高斯消元

\[\begin{cases} a + 3b = 1 \\ 2a + 7b = 0 \end{cases} \\ \begin{cases} c + 3d = 0 \\ 2c + 7d = 1 \end{cases} \]

高斯-若尔当（同时进行多个方程组运算）：

\[\begin{pmatrix} 1 & 3 & \vdots & 1 & 0\\ 2 & 7 & \vdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

正确性说明：\(E[A,I] = [I, A^{-1}]\)

不可逆的判定：

1. 如果是方阵的话，可以通过行列式等于\(0\)来判断
2. 总能找到一个非零向量\(x\)，使得\(Ax = 0\)

标签：begin,end,cdot,矩阵,pmatrix,Lecture,cases,乘法
来源： https://www.cnblogs.com/miraclepbc/p/14465170.html