解交错的常系数齐次线性递推式的通项

例子：解$A_n=A_{n-1}+3B_{n-1},B_n=2A_{n-1}+2B_{n-1}$的通项，$A_0,B_0$为指定常数。

构造矩阵$M=\begin{bmatrix}a_0&b_0\\c_0&d_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\2&2\end{bmatrix}$，使得$\begin{bmatrix}1&3\\2&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}A_{n-1}\\B_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_n\\B_n\end{bmatrix}$。如果我们能知道$M_k$中的每一项系数，就能轻松解得$A_n$和$B_n$。因此，我们需要寻找$M$的特征多项式。

显然$M$的特征多项式为$P(\lambda)=\lambda^2-3\lambda-4$，即$M^n=3M^{n-1}+4M^{n-2}$，两特征根为$\lambda_1=-1,\lambda_2=4$，对应到M中的每一个系数，有

$\begin{cases}a_n=3a_{n-1}+4a_{n-2}\\b_n=3b_{n-1}+4b_{n-2}\\c_n=3c_{n-1}+4c_{n-2}\\d_n=3d_{n-1}+4d_{n-2}\end{cases}$

取$M^0=\begin{bmatrix}a_0=1&b_0=3\\c_0=2&d_0=2\end{bmatrix},M^1=\begin{bmatrix}a_1=7&b_1=9\\c_1=6&d_1=10\end{bmatrix}$，不难得到（以算$A_n$通项为例）

$\begin{cases}a_n=-\frac{3}{5}\cdot(-1)^{n-1}+\frac{8}{5}\cdot4^n\\b_n=\frac{3}{5}\cdot(-1)^{n-1}+\frac{12}{5}\cdot4^n\end{cases}$

于是，$A_n=(-\frac{3}{5}\cdot(-1)^{n-1}+\frac{8}{5}\cdot4^n)A_0+(\frac{3}{5}\cdot(-1)^{n-1}+\frac{12}{5}\cdot4^n)B_0$

验证：$A_3=25A_0+39B_0$

标签：begin,end,cdot,齐次,通项,bmatrix,frac,递推,lambda
来源： https://www.cnblogs.com/GreenDuck/p/14433976.html