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第一章 复数 1-1 复数

作者：互联网

PART 01 复数的定义

复数的定义

定义 形如 z = x + iy 的数称为复数 ，这里 x,y ∈R . x 称为 z 的实部 ，记为 Re z ，y 称为 z 的虚部 ，记为 Im z ，i 称为虚数单位 .

注1 全体复数的集合记为 C . 当 y = 0 时 ，将 x + i0 与实数 x 等同 ，在这一意义下 ，实数集 R 可以看作复数集 C 的子集 .

注2 当 x = 0 时 ，将 0 + iy 简记为 iy ，若此时 y≠ 0 ，则 iy 称为纯虚数 .

定义 两个复数 \large x_{1} + iy_{1} 和 \large x_{2} + iy_{2} 称为相等的 ， 当且仅当 \large x_{1} = x_{2} 且 \large y_{1} = y_{2} .

PART 02 复数的四则运算

加法和乘法

定义 对两个复数 \large z_{1} = x_{1} + iy_{1} 和 \large z_{2} = x_{2} + iy_{2} ，定义加法和乘法如下

                          \large z_{1} + z_{2}= \left (x_{1} + x_{2} \right )+ i\left ( y_{1} + y_{2} \right )；

                       \large z_{1}z_{2} = \left ( x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} \right ) + i\left ( x_{1}x_{2} + x_{21}y_{1} \right ).       

注 复数的加法和乘法 ，形式上等同于将复数看作关于 i 的多项式 ，进行加法和乘法 ，并将 i² 替换为 -1 . 虚数单位 i 的引入 ，解决了负数在实数范围内不能开平方的问题 .

数域

定理 复数关于加法和乘法满足以下性质

(1) 加法交换律：\large z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1} ;

(2) 加法结合律：\large \left ( z_{1} +z_{2}\right )+z_{3}=z_{1}+\left (z _{2}+z_{3} \right ) ；

(3) 有零元素：对任何 z ，0 + z = z ；

(4) 有负元素：对任何 z ，存在 -z ，使得 z + (-z) = 0 ；

(5) 乘法交换律：\large z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1} ；

(6) 乘法结合律：\large ( z_{1}z_{2})z_{3}=z_{1}(z_{2}z_{3}) ；

(7) 有单位元：对任何 z ，1z = z ；

(8) 有逆元：对任何 z ≠ 0 ，存在 \large z^{-1} ，使得 \large zz^{-1}=1 ；

(9) 分配律：\large z_{1}\left ( z_{2}+z_{3} \right )=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3} .

证明 只证明（4）与（8），其他直接验证易得 . 事实上对 z = x + iy ，可取

                     \large -z=\left ( -x \right )+i(-y) ， \large z^{-1}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+i\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} .

注 \large z^{-1}  的选取 ，采用了分母实数化的想法 .

     根据这一定理 ，可定义复数的减法和除法如下

              \large z_{1}-z_{2}=z_{1}+-(z_{2}) ，\large \frac{z_{1}}{z_{2}}=z_{1}{z_{2}}^{-1}，

其中在除法的定义式中，要求除数不为零 .

注  对四则运算都封闭的数集 ，称为数域 . 特别 ，有理数集、实数集和复数集都是数域 ，但整数集不是数域 ，因为整数对除法运算不是封闭的 .

共轭复数

定义 对复数 z = x + iy ，定义 \large \overline{z}=x-iy ，称为 z 的共轭复数 .

定理 共轭运算满足以下性质：

（1）\large \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}，\large \overline{z_{1}z_{2}}=\overline{z_{1}}*\overline{z_{2}}；

（2）\large \overline{z}^{-1}=\overline{z^{-1}}； 

（3）\large \overline{\overline{z}}=z；

（4）\large Re z=\frac{z+\overline{z}}{2} ，\large Im z=\frac{z-\overline{z}}{2i} ；

（5）z ∈ R ，当且仅当 \large z=\overline{z} .

例题

例 化简 \large \frac{1}{i}+\frac{2}{1+i} .

解 利用分母实数化 ，得

        \large \frac{1}{i}+\frac{2}{1+i}=\frac{-i}{i(-i)}+\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=-i+(1-i)=1-2i. 

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标签：iy,定义,实数,第一章,复数,加法,乘法
来源： https://blog.csdn.net/weixin_43909650/article/details/113918992