10、欠或过拟合的学习曲线，运用验证集选取正则化的L值
作者：互联网
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在本练习中，您将实现正则化的线性回归和多项式回归，并使用它来研究具有不同偏差-方差属性的模型.
在前半部分的练习中，你将实现正则化线性回归，以预测水库中的水位变化，从而预测大坝流出的水量。
在下半部分中，您将通过一些调试学习算法的诊断，并检查偏差 v.s. 方差的影响。
我们将从可视化数据集开始，其中包含水位变化的历史记录，x，以及从大坝流出的水量，y。
这个数据集分为了三个部分：
training set 训练集：训练模型
cross validation set 交叉验证集：选择正则化参数
test set 测试集：评估性能，模型训练中不曾用过的样本
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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.io import loadmat
import scipy.optimize as opt
# 读取数据
path = 'data/ex5data1.mat' # 数据路径
data = loadmat(path) # 加载数据
X, y = data['X'], data['y'] # 获取 训练集
Xval, yval = data['Xval'], data['yval'] # 获取 交叉验证集
Xtest, ytest = data['Xtest'], data['ytest'] # 训练集
X = np.insert(X, 0, 1, axis=1) # X的第一列插入1
Xval = np.insert(Xval, 0, 1, axis=1) # Xval的第一列插入1
Xtest = np.insert(Xtest, 0, 1, axis=1) # Xtest的第一列插入1
# 打印X，Xval，Xtest的大小
# print('X={},y={}'.format(X.shape, y.shape))
# print('Xval={},yval={}'.format(Xval.shape, yval.shape))
# print('Xtest={},ytest={}'.format(Xtest.shape, ytest.shape))
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结果：
X=(12, 2),y=(12, 1)
Xval=(21, 2),yval=(21, 1)
Xtest=(21, 2),ytest=(21, 1)
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def plotData(): # 将训练集的数据可视化为散点图
plt.figure(figsize=(8, 5)) # 图大小
plt.scatter(X[:, 1:], y, c='r', marker='x') # X轴，y轴，颜色，点样式
plt.xlabel('Change in water level (x)')
plt.ylabel('Water flowing out of the dam (y)')
plt.grid(True) # 生成网格
# plotData() #运行画图函数
# plt.show()
# 计算带正则化项的线性代价值
def costReg(theta, X, y, l):
"""
不正则化 theta0
theta:(n+1,)
X:(m, n+1)
y:(m, 1)
"""
cost = ((X @ theta - y.flatten()) ** 2).sum()
regterm = l * (theta[1:] @ theta[1:]) # 正则化项
return (cost + regterm) / (2 * len(X)) # 返回带正则化项的线性代价值
# 使用theta=[1，1]，lambda = 1运行代价计算
# theta = np.ones(X.shape[1]) # [1,1]
# print(costReg(theta, X, y, l=1)) # 结果：303.9931922202643
# 计算带正则化项的线性梯度值
def gradientReg(theta, X, y, l):
"""
不正则化 theta0
theta:(n+1,) theta:(2,)
X:(m, n+1) X: (12, 2)
y:(m, 1) y: (12, 1)
返回结果：(2,)
"""
grad = (X @ theta - y.flatten()) @ X
regterm = l * theta # 正则化项
regterm[0] = 0
return (grad + regterm) / len(X) # 返回带正则化项的线性梯度值
# 使用theta=[1，1]，lambda = 1运行梯度计算
# theta = np.ones(X.shape[1])
# print(gradientReg(theta, X, y, 1)) # 结果：[-15.30301567 598.25074417]
# 拟合线性回归
def trainLinearReg(X, y, l):
theta = np.ones(X.shape[1]) # 初始化theta为[1，1]
res = opt.minimize(fun=costReg, x0=theta, args=(X, y, l), method='TNC', jac=gradientReg)
return res.x # 结果返回优化后的theta:(2,)
fit_theta = trainLinearReg(X, y, 0)
print('优化后的theta:', fit_theta) # 结果：[13.08790367 0.36777923]
plotData()
plt.plot(X[:, 1:], X @ fit_theta) # 画线性拟合直线
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这里我们把λ = 0，因为线性回归只有两个参数，这么低的维度，正则化并没有用。
从图中可以看到，拟合最好的这条直线告诉我们这个模型并不适合这个数据。
接下来，您将实现一个函数来生成学习曲线，它可以帮助您调试学习算法。
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机器学习中一个重要的概念是偏差（bias）和方差（variance）的权衡。
高偏差意味着欠拟合，高方差意味着过拟合。
在这部分练习中，您将在学习曲线上绘制训练误差和验证误差，以诊断bias-variance问题。
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训练样本数量从1开始逐渐增加，训练出不同的参数向量θ。
接着通过交叉验证样本Xval计算验证误差。
切记此时不要使用正则化，将λ=0。
计算交叉验证代价时记得整个交叉验证集来计算。
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# 画出学习曲线，即交叉验证误差和训练误差随样本数量的变化的变化
def plot_learning_curve(X, y, Xval, yval, l):
xx = range(1, len(X) + 1) # [1,2,3,4,...,12]
training_cost, cv_cost = [], []
for i in xx:
res = trainLinearReg(X[:i], y[:i], l) # 样本数量逐层增加,res存储每次的theta值
training_cost_i = costReg(res, X[:i], y[:i], 0) # 训练集代价
cv_cost_i = costReg(res, Xval, yval, 0) # 交叉验证集代价
training_cost.append(training_cost_i)
cv_cost.append(cv_cost_i)
# 画学习曲线图
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(xx, training_cost, label='training cost')
plt.plot(xx, cv_cost, label='cv cost')
plt.legend()
plt.xlabel('Number of training examples')
plt.ylabel('Cost')
plt.title('Learning curve for linear regression')
plt.grid(True)
plot_learning_curve(X, y, Xval, yval, l=0)
# 从图中看出来，随着样本数量的增加，训练误差和交叉验证误差都很高，这属于高偏差，欠拟合。
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我们的线性模型对于数据来说太简单了，导致了欠拟合(高偏差)。
接下来，您将通过添加更多的特性来解决这个问题。
数据预处理:
X，Xval，Xtest都需要添加多项式特征，这里我们选择增加到6次方(不要忘了标准化)。
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def genPolyFeatures(X, power):
""" 添加多项式特征:
每次在最后一列插入第二列的 2,3,...,power 次方（第一列为偏置）
从二次方开始插入（因为本身含有一列一次方）
"""
Xpoly = X.copy() # 浅拷贝
for i in range(2, power + 1):
Xpoly = np.insert(Xpoly, Xpoly.shape[1], np.power(Xpoly[:, 1], i), axis=1) # 按列插入
return Xpoly # 返回添加多项式特征后的数据集
def get_means_std(X):
"""
获取训练集的均值和误差，用来标准化所有数据。
"""
means = np.mean(X, axis=0) # 对各列求均值，返回 1* n 矩阵
"""
numpy.mean(a, axis, dtype, out，keepdims )
函数功能：求取均值
经常操作的参数为axis，以m * n矩阵举例：
axis 不设置值，对 m*n 个数求均值，返回一个实数
axis = 0：压缩行，对各列求均值，返回 1* n 矩阵
axis =1 ：压缩列，对各行求均值，返回 m *1 矩阵
"""
stds = np.std(X, axis=0, ddof=1) # 计算每一列的无偏样本标准差
"""
numpy.std(a, axis=None, dtype=None, out=None, ddof=0, keepdims=<no value>)
函数功能：求标准差
axis=0时，表示求每一列标准差
axis=1时，表示求每一行标准差
axis=None时，表示求全局标准差。
ddof=0时，计算有偏样本标准差
(一般在拥有所有数据的情况下，计算所有数据的标准差时使用，即最终除以n)
ddof=1时，表示计算无偏样本标准差
(最终除以n-1)
"""
return means, stds
def featureNormalize(myX, means, stds):
"""标准化
所有数据集应该都用训练集的均值和样本标准差处理。
"""
X_norm = myX.copy()
X_norm[:, 1:] = X_norm[:, 1:] - means[1:]
X_norm[:, 1:] = X_norm[:, 1:] / stds[1:]
return X_norm
# 获取添加多项式特征以及标准化之后的数据集。
power = 6 # 扩展到x的6次方
train_means, train_stds = get_means_std(genPolyFeatures(X, power)) # 获得训练集的均值和标准差
X_norm = featureNormalize(genPolyFeatures(X, power), train_means, train_stds) # 扩展特征后的训练集
Xval_norm = featureNormalize(genPolyFeatures(Xval, power), train_means, train_stds) # 扩展特征后的交叉验证集
Xtest_norm = featureNormalize(genPolyFeatures(Xtest, power), train_means, train_stds) # 扩展特征后的测试集
# 画出多项式回归的拟合曲线
def plot_fit(means, stds, l):
theta = trainLinearReg(X_norm, y, l) # 得到扩大特征后的训练集的最优theta值 (7, )
print('此时的theta:', theta)
x = np.linspace(-75, 55, 50) # 50表示要生成的样本数
xmat = x.reshape(-1, 1) # 重塑成一列 (50,1)
xmat = np.insert(xmat, 0, 1, axis=1) # 在第一列插入1 (50,2)
Xmat = genPolyFeatures(xmat, power) # 扩大特征 (50,7)
Xmat_norm = featureNormalize(Xmat, means, stds) # 标准化
plotData() # 画原数据散点图
plt.plot(x, Xmat_norm @ theta, 'b--') # 画拟合曲线
plot_fit(train_means, train_stds, 0)
# 此时的theta: [ 11.21817067 11.36845531 13.44911626 10.73084633 -4.44505759 -11.89800257 -5.06836084]
plot_learning_curve(X_norm, y, Xval_norm, yval, 0)
plot_fit(train_means, train_stds, 100)
# 此时的theta: [11.21758894 0.98876228 0.30025154 0.77917857 0.11521526 0.5903675 -0.0118514 ]
plot_learning_curve(X_norm, y, Xval_norm, yval, 100)
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l=0时，不进行正则化，图像显示过拟合特征。
l=100时，惩罚过多，图像显示欠拟合特征。
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# 使用交叉验证集来选择最合适的正则化lambda值
lambdas = [0., 0.001, 0.003, 0.01, 0.03, 0.1, 0.3, 1., 3., 10.] # lambda候选值
error_train, error_val = [], []
for l in lambdas:
theta = trainLinearReg(X_norm, y, l)
error_train.append(costReg(theta, X_norm, y, 0)) # 这里计算error时，令l=0
error_val.append(costReg(theta, Xval_norm, yval, 0))
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正则化是用来进行梯度下降的，惩罚某些特征。
当梯度下降完成，用得到的最优参数计算损失函数，就不用正则化那一项了。
因此这里计算error时，令l=0。
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l = lambdas[np.argmin(error_val)] # np.argmin(error_val)：获得error_val最小值处的索引号
print('最优lambda值为:', l)
theta = trainLinearReg(X_norm, y, l)
print('此时theta值为：', theta)
print('test cost=', costReg(theta, Xtest_norm, ytest, 0))
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运行结果：
最优lambda值为: 3.0
此时theta值为： [11.21758982 6.77857869 3.98943697 3.99183811 2.24949203 2.45682122 1.25070152]
test cost= 4.755261169964735
若power=8，则结果为：
最优lambda值为: 3.0
此时theta值为： [11.2175881 6.65682303 3.89421607 3.75899131 2.25315894 2.20639341 1.33198932 1.35014165 0.76188972]
test cost= 3.859893821669393
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# 画lambda-cost图
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(lambdas, error_train, label='Train')
plt.plot(lambdas, error_val, label='Cross Validation')
plt.legend()
plt.xlabel('lambda')
plt.ylabel('Error')
plt.grid(True)
plt.show()
运行结果：
线性回归及其学习曲线：
多项式回归及其学习曲线：
过拟合：
欠拟合：
lambda的选取：
正则化代价函数：
正则化线性梯度值:
训练集代价函数:
多项式回归:
linspace函数:
reshape函数:
在创建DataFrame的时候常常使用reshape来更改数据的列数和行数。
在使用了reshape（-1，1）之后，数据集变成了一列。reshape(1,-1)变成了一行。
标签：10,plt,Xval,学习曲线,正则,cost,拟合,theta,norm 来源： https://blog.csdn.net/qq_43632490/article/details/113353560