引入集合以后

前言

为何引入

• 对于高一的新生，往往不能理解为什么要引入这么抽象和晦涩的数学素材[集合]，用以下的例子作以体会。

有了集合这种数学语言，数学内容可以表达的更加简洁和精确；

比如刻画不等式的解集；初中我们说，不等式\(x^2-3x+2\leqslant 0\)的解为\(1\leqslant\)\(x\)\(\leqslant\)\(2\)，用集合语言写为：\(A\)\(=\)\(\{x\)\(\mid\)\(x^2\)\(-3x\)\(+\)\(2\)\(\leqslant\)\(0\}\)\(=\)\([1,2]\)；

比如刻画方程的根；初中我们说，方程\(x^2-4=0\)的根为\(x=2\)或\(x=-2\)，用集合语言写为：\(A\)\(=\)\(\{\)\(x\)\(\mid\)\(x^2\)\(-\)\(4\)\(=\)\(0\}\)\(=\)\(\{\)\(-2\)\(,\)\(2\)\(\}\)；

再比如刻画函数的定义域和值域；\(A=\{x\mid y=x^2-3x+1\}\)表示函数\(y=x^2-3x+1\)的定义域，即不等式\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+1\)\(\leqslant\)\(0\) 的解集；而集合\(B\)\(=\)\(\{\)\(y\)\(\mid\)\(y\)\(=\)\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(1\}\)表示函数\(y\)\(=\)\(x^2\)\(-3x\)\(+1\)的值域；

再比如刻画曲线上的点集，集合\(C=\{(x,y)\mid y=x^2-3x+1\}\)，表示二次函数曲线 \(y\)\(=\)\(x^2\)\(-\)\(3x\)\(+\)\(1\) 上的所有点构成的集合，虽然说抽象了许多，但更加简洁了许多；

引入以后

• 当我们艰难的引入集合这个概念后，有些题目会有意识的使用集合语言来表述刻画，此时需要让学生理解集合语言的应用，并适应和主动使用集合语言来刻画数学素材。

比如，不等式的解集的给出方式

已知集合\(A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\}\)，\(B=\{-4,-1\}\)，\(B\subseteq A\)，求\(a\)的取值范围；

$A.a\leqslant -4$ $B.a<-4$ $C.a\geqslant -2$ $D.a>-2$

分析：由于\(B\subseteq A\)，故\(-4\in A\)，\(-2\in A\)，

则必然满足\(\left\{\begin{array}{l}{16+4(a+1)+a<0}\\{4+2(a+1)+a<0}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得\(a<-4\)，故选\(B\).

方程的根的给出方式

已知集合\(A=\{x\mid x^2-3x+k=0\}\)，\(2\in A\)，求\(k\)的值；

分析：由于\(2\in A\)，则\(x=2\)为方程的根，

则有\(2^2-3\times 2+k=0\)，解得\(k=2\);

[自编]已知集合\(A=\{x\mid x^2-mx+k=0\}\)，\(2\in A\)且\(1\in A\)，求\(m\)和\(k\)的值；

分析：韦达定理，\(m=3\)，\(k=2\)；

[自编]已知集合\(A=\{x\mid x^2-3x+k=0\}\)，且集合\(A\)的所有子集个数为\(2\)或者说成集合\(A\)为单元素集，或者说成集合\(A\)中只有一个元素，题目的结果都是一样的。\(\quad\)，求\(k\)的值；

分析：集合\(A\)为单元素集合，故\(\Delta=0\)，则有\(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times k=0\)，

解得，\(k=\cfrac{9}{4}\);

已知集合\(A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\}\)，\(B=(-4,1)\)，\(B=A\)，求\(a\)的值；

分析：说明方程\(x^2-(a+1)x+a=0\)的两个根分别为\(x_1=-4\)，\(x_2=1\)，故可以利用韦达定理求参数的值；

则\(\left\{\begin{array}{l}{-4+1=a+1}\\{-4\times 1=a}\end{array}\right.\) \(\quad\)解得\(a=-4\).

函数的定义域值域的给出方式

集合\(A=\{x\mid x^2-(a+1)x+a<0\}\)，集合\(B=\{y\mid y=x^2+x+1\}\)，求\(A\cap B\)；

分析：容易化简得到\(B=\R\)，而化简集合\(A\)时，需要针对\(a\)分类讨论如下：

当\(a=1\)

给出方式

• 涉及不等式的解的给出方式

• 直接给出：\(x=1\)是不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)的解，求\(a\)的范围。

• 间接给出：\(A=\{x\mid x^2-2x+a\leq 0\}\)，且\(\{1\}\subsetneqq A\)，求\(a\)的范围。

• 间接给出：当\(x=1\)时不等式\(x^2-2x+a\leq 0\)是真命题，求\(a\)的范围；

  当\(x=1\)时不等式\(x^2-2x+a>0\)是假命题，求\(a\)的范围。

• 隐晦给出：集合\(A=\{x\mid x^2-2x+a>0\}\)，\(1\notin A\)，求\(a\)的范围；

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