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凸优化第二章凸集 2.6 对偶锥与广义不等式

作者:互联网

2.6 对偶锥与广义不等式

  1. 对偶锥
  2. 广义不等式的对偶
  3. 对偶不等式定义的最小元和极小元

对偶锥

锥K的对偶锥是集合K^*=\left\{y|x^Ty\geqslant 0,\forall x\in K \right \}

对偶锥

如上图左图的y是K的对偶锥的一个元素,右图z不是K的对偶锥的元素,几何上看y\in K^*当且仅当-y是K在原点的一个支撑超平面的法向量。

广义不等式的对偶

如果K是正常锥,则K可导出一个广义不等式,并且K的对偶也是正常锥,其对偶也可以导出一个广义不等式。

定义:广义不等式\preceq_{K^*}为广义不等式\preceq_K的对偶。

y\succeq_{K^*}0\Leftrightarrow y^Tx\geq 0,\forall x\succeq_K 0

对偶不等式定义的最小元和极小元

x是集合S上关于广义不等式\preceq_K的最小元的充要条件是,\forall \lambda \succeq_{K^*}0,x是在z\in S上极小化\lambda ^Tz的唯一最优解。

几何上意味着,\forall \lambda \succeq_{K^*}0,超平面\left \{ z|\lambda^T(z-x)=0 \right \}是S在x处的一个严格支撑超平面(即这个超平面至于S相交于x一个点,换句话说,\forall \lambda \succeq_{K^*}0,超平面\left \{ z|\lambda^T(z-x)=0 \right \}都只与S相交于点x。)。

x是集合S上关于广义不等式\preceq_K的极小元的充要条件是,对于一些\lambda \succeq_{K^*}0,x是在z\in S上极小化\lambda ^Tz

类似于最小元的几何意义,极小元就是对于某些\lambda \succeq_{K^*}0,超平面\left \{ z|\lambda^T(z-x)=0 \right \}与S相交于该极小元。

如上图x_1是极小化\lambda_1^Tz的解,x_2是极小化\lambda_2^Tz的解。

 

来源:https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86498586

标签:不等式,凸集,最小,极小,超平面,广义,2.6,对偶
来源: https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111302859