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【转载】凸优化第二章凸集 2.2 重要例子

作者：互联网

2.2重要例子

1 空集、单点集、R^n都是R^n的仿射

2 任意直线都是仿射

3 一条线段是凸的，但不是仿射

4 射线是凸的，但不是仿射

5 任何子空间都是仿射的、凸锥

超平面与半空间

超平面

数学上超平面是具有下列形式的集合:

\left \{ x|a^{T}x=b \right \},a\in R^{n},a\neq 0,b\in R

从上式看出，超平面其实是线性方程的解空间。从几何上看，超平面其实是以a为法向量的平面。如下图：

超平面

半空间

半空间数学上的定义是

\left \{ x|a^{T}x\leq b \right \},a\in R^{n},a\neq 0,b\in R\:

几何上是：

半空间

Euclid球和椭球

Euclid球

以x_{c}为球心以r为半径的球这样表示：

B(x_{c},r)=\left \{\left x|\, \|x-x_c \right \|_2 \leq r \right \}=\left \{ x| (x-x_c)^T(x-x_c))\leq r^2\right \},r>0

也可以写成：

B(x_c,r)=\left \{x_c+ru | \right \left \| u \right \|_2\leq 1\}

Euclid球是凸集：

\forall x_1,x_2 \in Euclid\, x_c,\left \| x_1-x_c \right \| \leq r,\left \| x_2-x_c \right \| \leq r,\forall \theta\in[0,1] \left \| \theta x_1+(1-\theta)x_2-x_c \right \|_2 = \left \| \theta (x_1-x_c)+(1-\theta)(x_2-x_c) \right \| _2 \leq \theta\left \| x_1-x_c \right \|_2 +(1-\theta)\left \| x_2-x_c \right \| _2

椭球

\varepsilon =\left \{x|(x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c) \leq 1 \right \}

其中x_c是椭球中心，P是对称正定矩阵（咋上述表示中P是唯一的），P决定了椭球从x_c向各个方向占的幅度。椭球的半周长度由P的特征值的算术平方根确定。可以看出Euclid球是一种特殊的椭球，这种特殊的椭球的P=r^2I，I是单位矩阵。

椭球还可以表示成：

\varepsilon = \left \{ x_c+Au | \left \| u \right \|_2 \leq 1 \right \}

这种表示中A是对称半正定矩阵，切A是非奇异方阵，在这种表示中A不唯一。

范数球和范数锥

范数

范数表示成\left \| \cdot \right \|具有三个性质：

  1. 非负性：\left \| x \right \| \geq 0,\left \| x \right \|= 0, if \, and\, only\, \, if\, x =0
  2. 保数乘：\forall K \in R,\left \| kx \right \|=|k|\left \| x \right \|
  3. 三角不等式：\left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|

范数球

以x_c为球心，半径为r的范数球定义为:

\left \{ x|\left \| x-x_c \right \| \leq r \right \}

范数锥

范数锥是集合：

C=\left \{ (x,t))|\left \| x\right \| \leq t \right \}

范数球和范数锥都是凸的。

多面体

多面体是有限个不等式和等式的解集。

P=\left \{ x| a_j^Tx\leq b,j=1,2,\cdots m,c_j^Tx = d_j,j = 1,2,\cdots p \right \}

从方程组的角度来看多面体是多个等式方程组和不等式方程组的解集，从几何上来看，其实多面体是多个超平面（对应等式方程）和半空间（对应不等式方程）的交集。

多面体

半正定锥

S^n表示对称的n\times n矩阵。S_{+}^n表示对称半正定矩阵。S_{++}^n表示对称正定矩阵。S_{+}^n就是一个凸锥。

\forall A, B\in S_+^n,\forall \theta\geq 0,\forall x, x^T(\theta A+(1-\theta)B)x=x^T\theta Ax+x^T(1-\theta)Bx=\theta x^TAx+(1-\theta)x^TBx\geq 0

 

来源：https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86485059

标签：范数,椭球,仿射,凸集,5C%,20%,超平面,2.2,第二章
来源： https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111301329