小球与盒子 的奇妙关系/洛谷P5824 十二重计数法
作者：互联网
小球盒子学得好，计数分数少不了。
下面假设现在有 \(n\) 个球 \(m\) 个盒子。
1.球不同，盒不同。
考虑一个球有 \(m\) 种选择方案，球之间的选择互不影响，所以答案就是 \(m^n\).
2.球不同，盒不同，每个盒至多一个球。
如果 \(n>m\) ，那么显然答案为 \(0\).
否则考虑第一个球有 \(m\) 种放法，第二个有 \(m-1\) 种...所以答案就是 \(\displaystyle \prod_{i=m-n}^{m}i\)
3.球不同，盒不同，每个盒子至少一个球。
如果 \(n<m\) ，那么显然答案为 \(0\).
因为第二类斯特林数求的是 盒子相同的情况，并且没有空盒，只要乘上 \(m!\) 就可以了认为盒子是不同的啦。
所以答案就是 \(S_{n}^m \times m!\) ,其中 \(S\) 是第二类斯特林数。
4.球不同，盒相同。
因为第二类斯特林数要求没有空盒，这里并不做要求，所以我们可以讨论一下用了几个盒子，答案就是 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{min(n,m)} S_n^i\)
5.球不同，盒相同，每个盒子至多一个球。
当 \(n>m\) 的时候 ，方案数为0.
凑则方案数为 \(1\).
6.球不同，盒相同，每个盒子至少一个球。
如果 \(n<m\) ，那么显然答案为 \(0\).
否则答案就是第二类斯特林数 \(S_n^m\)
标签：第二类,十二重,盒子,斯特林,不同,计数法,P5824,答案,空盒 来源： https://www.cnblogs.com/wljss/p/13139414.html