两角和的正切
作者:互联网
[题目]
如图,正方形 \(ABCD\) 的边长为 \(1\) ,\(P,Q\) 分别为边 \(AB,DA\) 上的点.当 \(\triangle APQ\) 的周长为 \(2\) 时,求 \(\angle PCQ\) 的大小.
[解析]
设 \(\angle DCQ=\alpha , \angle BCP=\beta\) ,则 \(DQ=\tan\alpha,PB=\tan\beta\) . 因为\[DQ+QA+AP+PB=2\]\[QA+AP+PQ=2\]所以 \(PQ=QD+PB=\tan\alpha+\tan\beta\) ,在 \({\rm Rt}\triangle QAP\) 中 \(QA^2+AP^2=PQ^2\) . 即\[(1-\tan\alpha)^2+(1-\tan\beta)^2=(\tan\alpha+\tan\beta)^2\]化简得\[\tan\alpha+\tan\beta=1-\tan\alpha\tan\beta\]故 \(\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=1\) . 又 \(\alpha+\beta\in(0,\dfrac{\pi}{2})\) ,所以 \(\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}\) ,所以 \(\angle PCQ=\dfrac{\pi}{4}\) .
标签:PQ,angle,dfrac,正切,beta,alpha,tan,两角 来源: https://www.cnblogs.com/lbyifeng/p/12231457.html