数学分析题目·连续性质（1）

1. 设\(f\)在\([a,+\infty)\)上连续，且\(\lim_{x \to + \infty}f(x)\)存在。证明：\(f\)在\([a,+\infty)\)上有界。

又问\(f\)在\([a,+\infty)\)上必有最大值和最小值吗？

1. 若对任何充分小的\(\varepsilon>0\)，\(f\)在\([a+\varepsilon,a-\varepsilon]\)上有界，能否推出\(f\)在\([a,b]\)上有界吗?

2. 证明：若\(f\)在\([a,b]\)上连续，且对任何\(x\in [a,b],f(x) \neq 0\),则\(f\)在\([a,b]\)上恒正或恒负

3. 试用一致连续的定义证明：若\(f,g\)都在区间\(I\)上一致连续，则\(f+g\)也在\(I\)上一致连续。

4. 证明：\(f(x)=x^2\)在\([a,b]\)上一致连续，但在\((-\infty,+\infty)\)上不一致连续

5. 证明：\(f(x)=\sqrt{x}\)在\([0,+\infty)\)上的一致连续性

6. 设函数在区间\(I\)上满足 利普希茨条件 ，即存在常数\(L>0\)，使得\(I\)上任意两点\(x_1,x_2\)

   都有
   \[ |f(x_1)-f(x_2)| \le L|x_1-x_2| \]
   证明\(f\)在\(I\)上一致连续。

7. 证明\(\sin(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上一致连续。

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