Luogu P3200 [HNOI2009]有趣的数列
作者：互联网
题目描述
我们称一个长度为2n的数列是有趣的，当且仅当该数列满足以下三个条件：
(1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}；
(2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1，所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n；
(3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项，即：a2i-1<a2i。
现在的任务是：对于给定的n，请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列。因为最后的答案可能很大，所以只要求输出答案 mod P的值。
输入输出格式
输入格式：
输入文件只包含用空格隔开的两个整数n和P。输入数据保证，50%的数据满足n<=1000，100%的数据满足n<=1000000且P<=1000000000。
输出格式：
仅含一个整数，表示不同的长度为2n的有趣的数列个数mod P的值。
输入输出样例
输入样例#1： 复制3 10输出样例#1： 复制
5
对应的5个有趣的数列分别为（1,2,3,4,5,6），（1,2,3,5,4,6），（1,3,2,4,5,6），（1,3,2,5,4,6），（1,4,2,5,3,6）。
卡特兰数。
可以在网格上模拟（以奇偶为横纵坐标），发现是卡特兰数的推导。
有模数，不需带高精。
现考虑怎样推：
卡特兰数四个公式：
1.h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+.....h(n-1)*h(0).
2.h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1).
3.h(n)=C(2n,n)/(n+1)
4.h(n)=h(n-1)*(4n+2)/(n+2)
现考虑用哪个？？
1肯定不行，2会炸时间，4模意义下的p不一定是质数，不能用逆元，也不可。
3是正解。
一通推导。（第一次算错了，懵了半天）
有趣的来了，接下来通过质因数分解与快速幂来求解。
通过题解得到至此的思路，接下来的靠阿白了（%%%）。
我一开始想的是每个数都质因数分解，分别记录，最后在统计。这样既费时间，也费空间。
正解是（来自阿白的悉心指导）：
直接开一个数组表示指数，分母为减，分子为加（初状态）， 再通过由大向小递推，统计指数。
质因数分解需要用到线性筛，会计算到mindiv（最小质因子），再次加以利用。
妙啊~~~~~~
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #define ll long long
3 using namespace std;
4 const int maxn=2000010;
5 int pri[maxn],mindiv[maxn],num;
6 int k;
7 int n,p;
8 void xxs(){
9 for(int i=2;i<=2*n;i++){
10 if(!mindiv[i]) mindiv[i]=pri[++num]=i;
11 for(int j=1;j<=num&&((k=i*pri[j])<=2*n)&&pri[j]<=mindiv[i];j++)
12 mindiv[k]=pri[j];
13 }
14 }
15 int zs[maxn];
16 ll ans=1;
17 ll fast_pow(int a,int b){
18 ll s=1;
19 while(b){
20 if(b&1) s=(s*a)%p;
21 a=(a*a)%p;
22 b>>=1;
23 }
24 return s%p;
25 }
26 int main(){
27 scanf("%d%d",&n,&p);
28 xxs();
29 for(int i=1;i<=n;i++) zs[i]=-1;
30 for(int i=n+2;i<=2*n;i++) zs[i]=1;
31 for(int i=2*n;i>=2;i--) if(mindiv[i]!=i)zs[mindiv[i]]+=zs[i],zs[i/mindiv[i]]+=zs[i];//划重点☆☆☆
32 for(int i=2;i<=2*n;i++) if(mindiv[i]==i)ans=(ans*fast_pow(i,zs[i])%p)%p;
33 printf("%lld",ans);
34 // for(int i=2;i<=n;i++) cout<<i<<" "<<mindiv[i]<<endl;
35 }
View Code
标签：mindiv,数列,int,Luogu,P3200,HNOI2009,2n,有趣,zs 来源： https://www.cnblogs.com/sdfzjdx/p/11222410.html